每週問題 January 2, 2017

A 是一個二階方陣且 \hbox{trace}A=0,證明存在一個么正 (unitary) 矩陣 U 使得 U^\ast AU 的主對角元為零。

Let A be a 2\times 2 matrix and \hbox{trace}A=0. Show that there exists a unitary matrix U such that the diagonal elements of U^\ast AU are equal to zero.

 
參考解答:

我們僅須證明存在一個單位向量 \mathbf{u}\in\mathbb{C}^2 使得 \mathbf{u}^\ast A\mathbf{u}=0。令二階矩陣 U=\begin{bmatrix}  \mathbf{u}&\mathbf{v}  \end{bmatrix},其中 \mathbf{v}\in\mathbb{C}^2 為任意單位向量滿足 \mathbf{v}^\ast\mathbf{u}=0,即有 U^\ast=U^{-1}。如此,U^\ast AU(1,1)\mathbf{u}^\ast A\mathbf{u} 為零,且 (2,2) 元也為零,因為 \hbox{trace}(U^\ast AU)=\hbox{trace}(AUU^\ast)=\hbox{trace}A=0。單位向量 \mathbf{u} 的設計方式如下:令 \pm\lambdaA 的特徵值 (因為 \hbox{trace}A=0),\mathbf{x} 為對應 \lambda 的單位特徵向量,且 \mathbf{y} 為對應 -\lambda 的單位特徵向量。若 \lambda=0,設 \mathbf{u}=\mathbf{x},立得 \mathbf{u}^\ast A\mathbf{u}=\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}=0。若 \lambda\neq 0,則 \mathbf{x}\mathbf{y} 是線性獨立的。設 \mathbf{u}=\mathbf{x}+e^{i\theta}\mathbf{y},其中 i=\sqrt{-1}。對於任意 \theta\in\mathbb{R}\mathbf{u} 必定是非零向量。計算

\begin{aligned}  \mathbf{u}^\ast A\mathbf{u}&=(\mathbf{x}+e^{i\theta}\mathbf{y})^\ast A(\mathbf{x}+e^{i\theta}\mathbf{y})\\  &=(\mathbf{x}+e^{i\theta}\mathbf{y})^\ast\lambda(\mathbf{x}-e^{i\theta}\mathbf{y})\\  &=\lambda\left(\Vert\mathbf{x}\Vert^2-\Vert\mathbf{y}\Vert^2+e^{-i\theta}\mathbf{y}^\ast\mathbf{x}-e^{i\theta}\mathbf{x}^\ast\mathbf{y}\right)\\  &=2i\lambda\,\hbox{Im}(e^{-i\theta}\mathbf{y}^\ast\mathbf{x}).  \end{aligned}

最後,選擇 \theta 使得 e^{-i\theta}\mathbf{y}^\ast\mathbf{x} 為實數,即有 \hbox{Im}(e^{-i\theta}\mathbf{y}^\ast\mathbf{x})=0

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1 則回應給 每週問題 January 2, 2017

  1. Meiyue Shao 說:

    这个结论对于n阶矩阵也是成立的。

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