每週問題 January 9, 2017

這是一道線性變換的證明問題。

Let \mathcal{V} and \mathcal{W} be two vector spaces over the same field. Suppose F and G are two linear transformations \mathcal{V}\to \mathcal{W} such that for every \mathbf{x}\in\mathcal{V}, G(\mathbf{x}) is s scalar multiple (depending on \mathbf{x}) of F(\mathbf{x}). Prove that G is a scalar multiple of F.

 
參考解答:

F=0,則 G=0。假設 F\neq 0。令 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 使得 F(\mathbf{x})\neq\mathbf{0}G(\mathbf{x})=aF(\mathbf{x})。對於任一 \mathbf{y}\in\mathcal{V},若 F(\mathbf{y})=\mathbf{0},則 G(\mathbf{y})=aF(\mathbf{y})。若 F(\mathbf{y})\neq\mathbf{0}G(\mathbf{y})=bF(\mathbf{y}),我們要證明 a=b。對於任意 d\neq 0,存在 c 使得 G(d\mathbf{x}-\mathbf{y})=cF(d\mathbf{x}-\mathbf{y})。上式等號左邊為

G(d\mathbf{x}-\mathbf{y})=dG(\mathbf{x})-G(\mathbf{y})=adF(\mathbf{x})-bF(\mathbf{y})

等號右邊為

cF(d\mathbf{x}-\mathbf{y})=cdF(\mathbf{x})-cF(\mathbf{y})

因此,(a-c)dF(\mathbf{x})=(b-c)F(\mathbf{y})。若 F(\mathbf{x})F(\mathbf{y}) 是線性獨立的,則 a=b=c。若 F(\mathbf{x})F(\mathbf{y}) 是線性相關的且 F(\mathbf{y})=dF(\mathbf{x})d\neq 0,則 a=b。因此,G=aF

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