每週問題 January 16, 2017

這是兩個實對稱矩陣以相合變換同時可對角化問題。

Let A and B be n\times n real symmetric matrices, and C(\lambda)=\lambda A+(1-\lambda)B, \lambda\in\mathbb{R}. If there exists a \lambda\in[0,1] such that C(\lambda) is a positive semidefinite matrix and \hbox{null}\,C(\lambda)=\hbox{null}\,A\cap \hbox{null}\,B, then there exists a nonsingular matrix P such that both P^TAP and P^TBP are diagonal. Note that \hbox{null}\,X denotes the nullspace of X.

 
參考解答:

假設 \lambda\in[0,1] 使得 C(\lambda)=\lambda A+(1-\lambda)B 是半正定且 \hbox{null}\,C(\lambda)=\hbox{null}\,A\cap \hbox{null}\,B。將 C(\lambda) 正交對角化為 Q^TC(\lambda)Q=\begin{bmatrix}  D&0\\  0&0  \end{bmatrix},其中 Q^T=Q^{-1}D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_k)k\le n,每一 d_i>0。令 M=Q\begin{bmatrix}  D^{-1/2}&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix},其中 D^{-1/2}=\hbox{diag}(d_1^{-1/2},\ldots,d_k^{-1/2})。設 A_1=M^TAMB_1=M^TBM,且 C_1=M^TC(\lambda)M,則

C_1=M^T(\lambda A+(1-\lambda)B)M=\lambda A_1+(1-\lambda)B_1

C_1=\begin{bmatrix}  D^{-1/2}&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix}Q^T\left(Q\begin{bmatrix}  D&0\\  0&0  \end{bmatrix}Q^T\right)Q\begin{bmatrix}  D^{-1/2}&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I_k&0\\  0&0  \end{bmatrix}

因為 M 是可逆的,\hbox{null}\,A_1=\hbox{null}\,M^TAM=\hbox{null}\,AM=M^{-1}(\hbox{null}\,A),其中 M^{-1}(\hbox{null}\,A)=\{M^{-1}\mathbf{x}|\mathbf{x}\in \hbox{null}\,A\}。同樣道理,\hbox{null}\,B_1=M^{-1}(\hbox{null}\,B)\hbox{null}\,C_1=M^{-1}(\hbox{null}\,C(\lambda))。因此,\hbox{null}\,C(\lambda)=\hbox{null}\,A\cap \hbox{null}\,B 推得 \hbox{null}\,C_1=\hbox{null}\,A_1\cap \hbox{null}\,B_1。但 \hbox{null}\,C_1=\hbox{span}\{\mathbf{e}_{k+1},\ldots,\mathbf{e}_n\},其中 \mathbf{e}_i 是第 i 個標準單位向量,就有 A_1\begin{bmatrix}  0\\  I_{n-k}  \end{bmatrix}=0B_1\begin{bmatrix}  0\\  I_{n-k}  \end{bmatrix}=0。因為 A_1B_1 是對稱矩陣,以上結果表明兩矩陣必定有下列分塊結構:

A_1=\begin{bmatrix}  A_{11}&0\\  0&0  \end{bmatrix},~~B_1=\begin{bmatrix}  B_{11}&0\\  0&0  \end{bmatrix}

其中 A_{11}B_{11}k\times k 階,且 I_k=\lambda A_{11}+(1-\lambda)B_{11}

底下分開兩個情況討論。假設 \lambda\neq 0。寫出正交對角形式 U^TB_{11}U=\hbox{diag}(b_1,\ldots,b_k),其中 U^T=U^{-1},並設 P=M\begin{bmatrix}  U&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix},則

\begin{aligned}  P^TBP&=\begin{bmatrix}  U^T&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix}M^TBM\begin{bmatrix}  U&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  U^T&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  B_{11}&0\\  0&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  U&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  U^TB_{11}U&0\\  0&0  \end{bmatrix}=D_B  \end{aligned}

是一個對角矩陣,

\begin{aligned}  P^TAP&=\frac{1}{\lambda}\begin{bmatrix}  U^T&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix}M^T\left(C(\lambda)-(1-\lambda)B\right)M\begin{bmatrix}  U&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix}\\  &=\frac{1}{\lambda}\begin{bmatrix}  U^T&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix}  I_k&0\\  0&0  \end{bmatrix}-(1-\lambda)\begin{bmatrix}  B_{11}&0\\  0&0  \end{bmatrix}\right)\begin{bmatrix}  U&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix}\\  &=\frac{1}{\lambda}\left(\begin{bmatrix}  I_k&0\\  0&0  \end{bmatrix}-(1-\lambda)D_B\right)=D_A  \end{aligned}

也是一個對角矩陣。另一方面,假設 \lambda=0。令 U^TA_{11}U=\hbox{diag}(a_1,\ldots,a_k),其中 U^T=U^{-1}。設 P=M\begin{bmatrix}  U&0\\  0&I_{n-k}  \end{bmatrix},重複上述步驟可證明 P^TAPP^TBP 都是對角矩陣。

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10 Responses to 每週問題 January 16, 2017

  1. Meiyue Shao 說道:

    我觉得 \lambda\in[0,1] 这个条件其实没什么用,尽管有些教材上确实有这样一个条件。

  2. 60042 說道:

    老師您好 想跟您請教個問題:
    台聯大104工數C卷的第七大題B和E 選項
    (B)A real matrix with real eigenvalues and complete set of orthogonal eigenvectors is symmetric.
    (E)A matrix with complete set of independent eigenvectors is diagonalizable.

    這兩句話要如何判斷是否正確呢?

    • ccjou 說道:

      我不會在網上回覆作業或試題,除非你先說出你的想法,為甚麼這兩個問題困擾你?

      • 60042 說道:

        (B)是因為題目說每個特徵向量都是正交,因此可組成一個正交矩陣Q,而得知Q^-1 = Q^* 。 再因為題目說是實數矩陣所以可以知道Q^-1 = Q^T 。 因此A=QDQ^T = ((Q^T)^T)D(Q)^T = A^T,
        所以A為實對稱。
        (E)因為每個特徵向量都是線性獨立,可以組成一個可逆矩陣P,因此可以做對角化。
        以上是我的想法,謝謝老師。

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