## 每週問題 January 16, 2017

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ real symmetric matrices, and $C(\lambda)=\lambda A+(1-\lambda)B$, $\lambda\in\mathbb{R}$. If there exists a $\lambda\in[0,1]$ such that $C(\lambda)$ is a positive semidefinite matrix and $\hbox{null}\,C(\lambda)=\hbox{null}\,A\cap \hbox{null}\,B$, then there exists a nonsingular matrix $P$ such that both $P^TAP$ and $P^TBP$ are diagonal. Note that $\hbox{null}\,X$ denotes the nullspace of $X$.

$C_1=M^T(\lambda A+(1-\lambda)B)M=\lambda A_1+(1-\lambda)B_1$

$C_1=\begin{bmatrix} D^{-1/2}&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}Q^T\left(Q\begin{bmatrix} D&0\\ 0&0 \end{bmatrix}Q^T\right)Q\begin{bmatrix} D^{-1/2}&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_k&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$

$A_1=\begin{bmatrix} A_{11}&0\\ 0&0 \end{bmatrix},~~B_1=\begin{bmatrix} B_{11}&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$

\begin{aligned} P^TBP&=\begin{bmatrix} U^T&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}M^TBM\begin{bmatrix} U&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} U^T&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11}&0\\ 0&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} U&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} U^TB_{11}U&0\\ 0&0 \end{bmatrix}=D_B \end{aligned}

\begin{aligned} P^TAP&=\frac{1}{\lambda}\begin{bmatrix} U^T&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}M^T\left(C(\lambda)-(1-\lambda)B\right)M\begin{bmatrix} U&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{\lambda}\begin{bmatrix} U^T&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix} I_k&0\\ 0&0 \end{bmatrix}-(1-\lambda)\begin{bmatrix} B_{11}&0\\ 0&0 \end{bmatrix}\right)\begin{bmatrix} U&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{\lambda}\left(\begin{bmatrix} I_k&0\\ 0&0 \end{bmatrix}-(1-\lambda)D_B\right)=D_A \end{aligned}

### 10 Responses to 每週問題 January 16, 2017

1. Meiyue Shao 說道：

我觉得 $\lambda\in[0,1]$ 这个条件其实没什么用，尽管有些教材上确实有这样一个条件。

• ccjou 說道：

我也沒想明白為什麼非要凸組合不可？

2. 60042 說道：

老師您好 想跟您請教個問題：
台聯大104工數C卷的第七大題B和E 選項
(B)A real matrix with real eigenvalues and complete set of orthogonal eigenvectors is symmetric.
(E)A matrix with complete set of independent eigenvectors is diagonalizable.

這兩句話要如何判斷是否正確呢？

• ccjou 說道：

我不會在網上回覆作業或試題，除非你先說出你的想法，為甚麼這兩個問題困擾你？

• 60042 說道：

（B)是因為題目說每個特徵向量都是正交，因此可組成一個正交矩陣Q，而得知Q^-1 = Q^* 。 再因為題目說是實數矩陣所以可以知道Q^-1 = Q^T 。 因此A=QDQ^T = ((Q^T)^T)D(Q)^T = A^T，
所以A為實對稱。
(E)因為每個特徵向量都是線性獨立，可以組成一個可逆矩陣P，因此可以做對角化。
以上是我的想法，謝謝老師。

• ccjou 說道：

推理過程很清楚，有其他的念頭困擾你嗎？

• 60042 說道：

沒有問題了，謝謝老師！
原本是題目看不清楚以為是再問正交補集，仔細看一遍就了解了。

• 60229 說道：

老師想請問如果以正交的向量組合成S但不nomalized,那麼SDS^-1會是實對稱矩陣嗎?

• ccjou 說道：

假設 $S$ 的行向量兩兩正交，但長度未必等於1。令$K$ 是一個可逆對角矩陣使得 $Q=SK$ 是正交矩陣，$Q^T=Q^{-1}$。若 $A=SDS^{-1}$，則 $A=QK^{-1}D(QK^{-1})^{-1}=Q(K^{-1}DK)Q^T$，其中$K^{-1}DK=D$ 是對角矩陣。

這樣你知道答案了嗎？

• 60229 說道：

了解了,謝謝老師!