## 每週問題 January 16, 2017

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ real symmetric matrices, and $C(\lambda)=\lambda A+(1-\lambda)B$, $\lambda\in\mathbb{R}$. If there exists a $\lambda\in[0,1]$ such that $C(\lambda)$ is a positive semidefinite matrix and $\hbox{null}\,C(\lambda)=\hbox{null}\,A\cap \hbox{null}\,B$, then there exists a nonsingular matrix $P$ such that both $P^TAP$ and $P^TBP$ are diagonal. Note that $\hbox{null}\,X$ denotes the nullspace of $X$.

$C_1=M^T(\lambda A+(1-\lambda)B)M=\lambda A_1+(1-\lambda)B_1$

$C_1=\begin{bmatrix} D^{-1/2}&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}Q^T\left(Q\begin{bmatrix} D&0\\ 0&0 \end{bmatrix}Q^T\right)Q\begin{bmatrix} D^{-1/2}&0\\ 0&I_{n-k}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_k&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$

$A_1=\begin{bmatrix} A_{11}&0\\ 0&0\end{bmatrix},~~B_1=\begin{bmatrix} B_{11}&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$

\begin{aligned} P^TBP&=\begin{bmatrix} U^T&0\\0&I_{n-k} \end{bmatrix}M^TBM\begin{bmatrix} U&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} U^T&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11}&0\\0&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} U&0\\0&I_{n-k} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} U^TB_{11}U&0\\ 0&0 \end{bmatrix}=D_B \end{aligned}

\begin{aligned} P^TAP&=\frac{1}{\lambda}\begin{bmatrix} U^T&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}M^T\left(C(\lambda)-(1-\lambda)B\right)M\begin{bmatrix} U&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{\lambda}\begin{bmatrix} U^T&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix} I_k&0\\ 0&0 \end{bmatrix}-(1-\lambda)\begin{bmatrix} B_{11}&0\\ 0&0\end{bmatrix}\right)\begin{bmatrix} U&0\\ 0&I_{n-k} \end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{\lambda}\left(\begin{bmatrix} I_k&0\\ 0&0 \end{bmatrix}-(1-\lambda)D_B\right)=D_A \end{aligned}

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### 10 Responses to 每週問題 January 16, 2017

1. Meiyue Shao says:

我觉得 $\lambda\in[0,1]$ 这个条件其实没什么用，尽管有些教材上确实有这样一个条件。

• ccjou says:

我也沒想明白為什麼非要凸組合不可？

2. 60042 says:

老師您好 想跟您請教個問題：
台聯大104工數C卷的第七大題B和E 選項
(B)A real matrix with real eigenvalues and complete set of orthogonal eigenvectors is symmetric.
(E)A matrix with complete set of independent eigenvectors is diagonalizable.

這兩句話要如何判斷是否正確呢？

• ccjou says:

我不會在網上回覆作業或試題，除非你先說出你的想法，為甚麼這兩個問題困擾你？

• 60042 says:

（B)是因為題目說每個特徵向量都是正交，因此可組成一個正交矩陣Q，而得知Q^-1 = Q^* 。 再因為題目說是實數矩陣所以可以知道Q^-1 = Q^T 。 因此A=QDQ^T = ((Q^T)^T)D(Q)^T = A^T，
所以A為實對稱。
(E)因為每個特徵向量都是線性獨立，可以組成一個可逆矩陣P，因此可以做對角化。
以上是我的想法，謝謝老師。

• ccjou says:

推理過程很清楚，有其他的念頭困擾你嗎？

• 60042 says:

沒有問題了，謝謝老師！
原本是題目看不清楚以為是再問正交補集，仔細看一遍就了解了。

• 60229 says:

老師想請問如果以正交的向量組合成S但不nomalized,那麼SDS^-1會是實對稱矩陣嗎?

• ccjou says:

假設 $S$ 的行向量兩兩正交，但長度未必等於1。令$K$ 是一個可逆對角矩陣使得 $Q=SK$ 是正交矩陣，$Q^T=Q^{-1}$。若 $A=SDS^{-1}$，則 $A=QK^{-1}D(QK^{-1})^{-1}=Q(K^{-1}DK)Q^T$，其中$K^{-1}DK=D$ 是對角矩陣。

這樣你知道答案了嗎？

• 60229 says:

了解了,謝謝老師!