2017 年大學學測的線性代數問題

網友周伯欣轉來2017年大學學測的一道線性代數問題

a_1,\ldots,a_9 為等差數列,且 k 為實數,若方程組

\left\{\begin{aligned} a_1x-a_2y+2a_3z&=k+1\\ a_4x-a_5y+2a_6z&=-k-5\\ a_7x-a_8y+2a_9z&=k+9 \end{aligned}\right.

有解,則 k=?

網友周伯欣分享了他的解答:https://goo.gl/photos/WVfF3Kg5LzWNcHUSA並問道:周老師有興趣談談今年大學學測的一次方程組題目嗎?

 
既然這是大學學測的考題,我應該設想自己是一個正準備於今年秋季進入大學校園的有為青年 (但我要承認這有點困難,今早天氣稍微轉涼起床時差一點閃到腰),白話文是我還沒學過大學線性代數 (當然也沒看過周老師的教學光碟)。閒話休提,第一句話說 a_1,\ldots,a_9 為等差數列,意思是說頭加尾等於兩倍的中,譬如 a_1+a_9=2a_5a_2+a_6=2a_4,餘此類推 (且慢,那麼 a_1+a_8=2a_{4.5}?)。第二句話說 k 為實數,這話像是蛋糕上的蠟燭,裝飾品不用理它。第三句話說若方程組 \left\{\cdots\right. 有解,則 k=? 這句話講到重點──那就是說方程組可能無解。相信我,紐約時報每篇文章的重點與立場都在最後一句話。

 
底下是我的解答:如果我們相信孟子的人性本善說,那麼出題老師必定能體諒應考學子的辛勞,不太可能出一道需要龐大計算的問題。因此,我假設出題老師是一位慈眉善目的長者,他先透露方程組可能無解,暗示我們至少有一條方程式是多餘的。不僅如此,這位慈善的長者還特意安排方程組的係數按順序排列 a_1,a_2,a_3 然後 a_4,a_5,a_6,接著 a_7,a_8,a_9。我們知道等差數列滿足 a_i+a_j=2a_{(i+j)/2},如果方程組有解,即方程組是一致的,第一式與第三式之和必然等價於第二式:

\begin{aligned} (a_1+a_7)x-(a_2+a_8)y+2(a_3+a_9)z=2k+10&\Rightarrow 2(a_4x-a_5y+2a_6z)=2(k+5)\\ &\equiv a_4x-a_5y+2a_6z=-k-5 \end{aligned}

也就是說 k+5=-k-5,即 k=-5

 
註解

如果問題改成:求出 k 使得方程組有解,也就是問方程組有解的充分條件,那麼上面回答必要條件的解法若不增添解釋便有疏漏。高斯消去法是線性聯立方程組的標準解法。提取係數與等號右邊的常數,寫出增廣矩陣並執行列運算:先交換第二、三列,第三列乘以 2,再將第三列減去第一列與第二列。過程如下:

\begin{aligned} &\left[\!\!\begin{array}{ccccr} a_1&-a_2&2a_3&\vline&k+1\\ a_4&-a_5&2a_6&\vline&-k-5\\ a_7&-a_8&2a_9&\vline&k+9 \end{array}\!\!\right]\\ &\to\left[\!\!\begin{array}{rrrcr} a_1&-a_2&2a_3&\vline&k+1\\ a_7&-a_8&2a_9&\vline&k+9\\ a_4&-a_5&2a_6&\vline&-k-5 \end{array}\!\!\right]\\ &\to\left[\!\!\begin{array}{rrrcr} a_1&-a_2&2a_3&\vline&k+1\\ a_7&-a_8&2a_9&\vline&k+9\\ 2a_4&-2a_5&4a_6&\vline&-2k-10 \end{array}\!\!\right]\\ &\to\left[\!\!\begin{array}{ccccc} a_1&-a_2&2a_3&\vline&k+1\\ a_7&-a_8&2a_9&\vline&k+9\\ 2a_4-a_1-a_7&-2a_5+a_2+a_8&4a_6-2a_3-2a_9&\vline&-2k-10-(k+1)-(k+9)\end{array}\!\!\right]\\ &\to\left[\!\!\begin{array}{ccccc} a_1&-a_2&2a_3&\vline&k+1\\ a_7&-a_8&2a_9&\vline&k+9\\ 0&0&0&\vline&-4(k+5)\end{array}\!\!\right]\end{aligned}

上面最後一個步驟使用了等差數列性質 a_i+a_j=2a_{(i+j)/2}。列梯形式的第一個係數列 (a_1,-a_2,2a_3) 與第二個係數列 (a_7,-a_8,2a_9) 不為零列而且這兩個係數列是線性獨立的 (請讀者自行驗證),因此線性聯立方程組有解的充要條件為 -4(k+5)=0 (見“高斯消去法”),或 k=-5。上面我提供的解法本質上其實就是高斯消去法。

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2 Responses to 2017 年大學學測的線性代數問題

  1. 周伯欣 says:

    謝謝周老師指教!

    • Meiyue Shao says:

      从逻辑完整性的角度讲还需要再验证 k=-5 时原方程确实有解,而不能满足于一个未经过检验的必要条件。

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