每週問題 February 27, 2017

利用相合 (congruence) 變換證明若 A\succ B\succ 0,則 B^{-1}\succ A^{-1}

Let A and B be Hermitian matrices. We will write that A\succ B if A-B is positive definite. The inequality A\succ 0 means that A is positive definite. Prove that if A\succ B\succ 0, then B^{-1}\succ A^{-1}.

 
參考解答:

假設 ABn\times n 階 Hermitian 矩陣。使用這個性質:若 A 是正定矩陣,則存在一個可逆矩陣 P 使得 P^\ast AP=IP^\ast BP=D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_n)。令 M=P^{-1}。因此,A=M^\ast MB=M^\ast DM。令 \mathbf{y}=M\mathbf{x}。不等式 \mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}>\mathbf{x}^\ast B\mathbf{x} 等價於 \mathbf{y}^\ast\mathbf{y}>\mathbf{y}^\ast D\mathbf{y},可知 A\succ B\succ 0 等價於 I\succ D\succ 0,即 1>d_i>0i=1,\ldots,n。因此,A\succ B\succ 0 推得 D^{-1}\succ I。但 A^{-1}=PP^\astB^{-1}=PD^{-1}P^\ast,再使用一次等價條件即證明 B^{-1}\succ A^{-1}

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