## 每週問題 March 27, 2017

Prove the following statements.
(a) Let $D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_n)$, where $d_i$ are distinct. If $AD=DA$, then $A$ is a diagonal matrix.
(b) Let $D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_n)$, where $d_i$ are distinct and nonzero, and $N=[n_{ij}]$ be an $n\times n$ matrix, where $n_{ij}=\delta_{i+1,j}$. If $AD=DA$ and $NDA=AND$, then $A=aI$.

(a) 令 $A=[a_{ij}]$$n\times n$ 階矩陣。寫出 $(AD)_{ij}=d_ja_{ij}$$(DA)_{ij}=d_ia_{ij}$$1\le i,j\le n$。因此，$d_ja_{ij}=d_ia_{ij}$$(d_j-d_i)a_{ij}=0$。當 $i\neq j$$d_i\neq d_j$ 推得 $a_{ij}=0$

(b) 由 (a) 可知 $A=[a_{ij}]$ 是對角矩陣。不難驗證 $(NDA)_{i,i+1}=d_{i+1}a_{i+1,i+1}$$(AND)_{i,i+1}=d_{i+1}a_{ii}$，因此 $a_{ii}=a_{i+1,i+1}$$i=1,\ldots,n-1$