每週問題 April 10, 2017

計算 I-\mathbf{x}\mathbf{y}^T 的伴隨矩陣。

Let \mathbf{x} and \mathbf{y} be n-dimensional column vectors. Prove that

\hbox{adj}(I-\mathbf{x}\mathbf{y}^T)=\mathbf{x}\mathbf{y}^T+(1-\mathbf{y}^T\mathbf{x})I.

 
參考解答:

因為 \mathbf{x}(\mathbf{y}^T\mathbf{x})\mathbf{y}^T=\mathbf{x}\mathbf{y}^T(\mathbf{y}^T\mathbf{x})

\displaystyle \begin{aligned} (I-\mathbf{x}\mathbf{y}^T)\left(\mathbf{x}\mathbf{y}^T+(1-\mathbf{y}^T\mathbf{x})I\right) &=\mathbf{x}\mathbf{y}^T-\mathbf{x}\mathbf{y}^T\mathbf{x}\mathbf{y}^T+(1-\mathbf{y}^T\mathbf{x})I-\mathbf{x}\mathbf{y}^T+\mathbf{x}\mathbf{y}^T\mathbf{y}^T\mathbf{x}\\  &=(1-\mathbf{y}^T\mathbf{x})I. \end{aligned}

使用 Sylvester 行列式定理

\displaystyle \det(I-\mathbf{x}\mathbf{y}^T)=1-\mathbf{y}^T\mathbf{x}

根據伴隨矩陣恆等式 X(\hbox{adj}X)=(\det X)I 即得證。

廣告
本篇發表於 pow 行列式, 每週問題 並標籤為 , 。將永久鏈結加入書籤。

2 Responses to 每週問題 April 10, 2017

  1. Wenchao Deng 說道:

    老师,题目的最后有笔误:不是1-yxT,应该是1-yTx

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s