每週問題 April 24, 2017

證明矩陣積的值域與零空間的維數恆等式。

Let A be an m\times n matrix and B be an n\times p matrix. Prove that

\dim (C(B)\cap N(A))=\dim C(B)-\dim C(AB)=\dim N(AB)-\dim N(B).

Note that C(X) and N(X) denote the column space and nullspace of X, respectively.

 
參考解答:

考慮線性變換 A 的輸入空間 (定義域) 限定於 C(B),記為 A_{/C(B)}。限定變換 A_{/C(B)} 的輸出空間 (值域) 為 \text{ran}\left(A_{/C(B)}\right)=C(AB),因為

\displaystyle  \text{ran}\left(A_{/C(B)}\right)=\{A\mathbf{y}\vert\mathbf{y}\in C(B)\}=\{AB\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathbb{C}^p\}=C(AB)

既然 A_{/C(B)} 的輸入空間為 C(B),立知零空間為 \ker(A_{/C(B)})=C(B)\cap N(A)。使用秩─零度定理,

\displaystyle\begin{aligned}  \dim C(B)&=\dim\ker\left(A_{/C(B)}\right)+\dim\text{ran}\left(A_{/C(B)}\right)\\  &=\dim(C(B)\cap N(A))+\dim C(AB).  \end{aligned}

再使用秩─零度定理,\dim C(B)=p-\dim N(B)\dim C(AB)=p-\dim N(AB),合併兩式即證明所求。

廣告
本篇發表於 pow 向量空間, 每週問題 並標籤為 , 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s