每週問題 May 8, 2017

這是關於基底的一個充分條件問題。

Let \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_{n+1} be vectors in \mathbb{R}^n (n\ge 2) such that \mathbf{v}_i^T\mathbf{v}_j<0 for i\neq j. Prove that any n of these vectors form a basis of \mathbb{R}^n.

 
參考解答:

因為 \mathbf{v}_i^T\mathbf{v}_j<0i\neq j,可知 \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_{n+1} 皆不為零向量。使用反證法,假設 \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k1<k<n+1,是線性相關的,也就是說存在不全為零的數組 c_1,\ldots,c_k 使得 c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}。寫出

\displaystyle 0=\mathbf{v}_{n+1}^T\left(\sum_{i=1}^kc_i\mathbf{v}_i\right)=\sum_{i=1}^kc_i\mathbf{v}_{n+1}^T\mathbf{v}_i

其中 \mathbf{v}^T_{n+1}\mathbf{v}_i<01\le i\le k。因此,數組 c_1,\ldots,c_k 必定包含正數與負數。在不失一般性的原則下,假設 c_i\ge 01\le i\le p,且 c_j\le 0p+1\le j\le k。根據上述條件,

\displaystyle \left(\sum_{i=1}^pc_i\mathbf{v}_i\right)^T\left(\sum_{j=p+1}^kc_j\mathbf{v}_j\right)=\sum_{i=1}^p\sum_{j=p+1}^kc_ic_j\mathbf{v}_i^T\mathbf{v}_j\ge 0

\displaystyle \left(\sum_{i=1}^pc_i\mathbf{v}_i\right)^T\left(\sum_{j=p+1}^kc_j\mathbf{v}_j\right)=-\left(\sum_{i=1}^pc_i\mathbf{v}_i\right)^T\left(\sum_{i=1}^pc_i\mathbf{v}_i\right)\le 0

故可推論 \left(\sum_{i=1}^pc_i\mathbf{v}_i\right)^T\left(\sum_{i=1}^pc_i\mathbf{v}_i\right)=0,即 \sum_{i=1}^pc_i\mathbf{v}_i=\mathbf{0}。因為 c_1,\ldots,c_p 不全為零,\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_p 是線性相關的,但 c_1,\ldots,c_p 未包含負數,我們得到一個矛盾,因此證明對於 1<k<n+1\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k 是線性獨立的。

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3 Responses to 每週問題 May 8, 2017

  1. Wenchao Deng says:

    Reblogged this on I think therefore I am. and commented:
    interesting

  2. 林源倍 says:

    哇,很不錯的題目

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