每週問題 May 29, 2017

這是零空間的包容關係與矩陣乘法的問題。

Let A and B be complex matrices of size m\times n and p\times n, respectively. If N(A)\subset N(B), prove that B=XA for some p\times m matrix X.

 
參考解答:

底下以 C(M) 表示矩陣 M 的行空間 (column space)。使用正交補集性質 N(A)=C(A^\ast)^\perpN(B)=C(B^\ast)^\perp

\begin{aligned}  N(A)\subset N(B)&\Rightarrow C(A^\ast)^\perp\subset C(B^\ast)^\perp\\  &\Rightarrow C(B^\ast)\subset C(A^\ast)  \end{aligned}

因此,B^\ast 的每個行可表示為 A^\ast 的行向量的線性組合,也就是存在 m\times p 階矩陣 P 使得 B^\ast=A^\ast P,取共軛轉置,B=P^\ast A

廣告
本篇發表於 pow 內積空間, 每週問題 並標籤為 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s