每週問題 June 12, 2017

證明 Gram-Schmidt 正交化定理。

Let \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n be a basis of an inner product space. Prove that there exists an orthogonal basis \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n such that \mathbf{e}_i\in\hbox{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_i\} for all i=1,\ldots,n.

 
參考解答:

使用數學歸納法證明。若 n=1,設 \mathbf{e}_1=\mathbf{v}_1,命題顯然成立。假設存在一組兩兩正交的向量集 \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_k 使得 \mathbf{e}_i\in\hbox{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_i\}i=1,\ldots,k。考慮

\mathbf{e}_{k+1}=c_1\mathbf{e}_1+\cdots+c_k\mathbf{e}_k+\mathbf{v}_{k+1}

我們選擇 c_i 使得 \left\langle\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_{k+1}\right\rangle=0,即 c_i\left\langle\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_i\right\rangle+\left\langle\mathbf{e}_i,\mathbf{v}_{k+1}\right\rangle=0,解得

\displaystyle  c_i=-\frac{\left\langle\mathbf{e}_i,\mathbf{v}_{k+1}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_i\right\rangle}  ,~~~ i=1,\ldots,k

因為 \mathbf{v}_{k+1}\notin\hbox{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\}=\hbox{span}\{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_k\},推論 \mathbf{e}_{k+1}\neq\mathbf{0},證明 \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_{k+1} 為兩兩正交的向量集。

廣告
本篇發表於 pow 內積空間, 每週問題 並標籤為 。將永久鏈結加入書籤。

One Response to 每週問題 June 12, 2017

  1. Meiyue Shao 說道:

    其实用 Cholesky 分解来证明也挺方便的

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s