每週問題 June 19, 2017

證明一個可逆矩陣存在 QR 分解。

Prove that an invertible matrix $A$ can be represented in the form $A=QR$ , where $Q$ is an orthogonal matrix and $R$ is an upper triangular matrix.

參考解答：

令 $n\times n$ 階可逆矩陣 $A$ 的線性獨立行向量 (column vector) 為 $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ ，即 $A=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n\end{bmatrix}$ 。Gram-Schmidt 正交化定理表明存在一個單範正交 (orthonormal) 向量集合 $\{\mathbf{q}_1,\ldots,\mathbf{q}_n\}$ 使得 $\mathbf{q}_i\in\hbox{span}\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_i\}$ ， $i=1,\ldots,n$ 。換句話說，存在一個上三角矩陣 $T$ 使得

$Q=\begin{bmatrix} \mathbf{q}_1&\cdots&\mathbf{q}_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}T=AT$ ，

其中 $Q^T=Q^{-1}$ 。因為 $Q$ 與 $A$ 同是可逆的，推論 $T$ 是可逆的。因此， $A=QR$ ，其中 $R=T^{-1}$ 是上三角矩陣。

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