每週問題 June 26, 2017

對於秩-1方陣 A,證明 \det (A+I)=\hbox{trace}A+1

Let A be an n\times n matrix and \hbox{rank}A=1. Prove that \det (A+I)=\hbox{trace}A+1.

 
參考解答:

證明1. 使用 Schur 三角化定理。存在一個么正矩陣 (unitary matrix) UU^\ast=U^{-1},使得 A=UTU^\ast,其中 T 是上三角矩陣且 \hbox{rank}T=1,即

T=\begin{bmatrix}  t_{11}&t_{12}&\cdots&t_{1n}\\  0&0&\cdots&0\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  0&0&\cdots&0  \end{bmatrix}

使用跡數循環不變性,

\begin{aligned}  \det(A+I)&=\det(UTU^\ast+UIU^\ast)=\det(U(T+I)U^\ast)\\  &=(\det U)\det(T+I)(\det U^\ast)=\det(T+I)=t_{11}+1\\  &=\hbox{trace}T+1=\hbox{trace}(U^\ast AU)+1=\hbox{trace}(AUU^\ast)+1\\  &=\hbox{trace}A+1.  \end{aligned}

 
證明2. 令 A=\mathbf{u}\mathbf{v}^T,其中 \mathbf{u}\mathbf{v} 為非零向量。使用 Sylvester 行列式定理,

\begin{aligned}  \det(A+I)&=\det(\mathbf{u}\mathbf{v}^T+I)=\det (\mathbf{v}^T\mathbf{u}+1)=\mathbf{v}^T\mathbf{u}+1\\  &=\hbox{trace}(\mathbf{v}^T\mathbf{u})+1=\hbox{trace}(\mathbf{u}\mathbf{v}^T)+1\\  &=\hbox{trace}A+1.  \end{aligned}

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