每週問題 June 26, 2017

對於秩-1方陣 $A$ ，證明 $\det (A+I)=\hbox{trace}A+1$ 。

Let $A$ be an $n\times n$ matrix and $\hbox{rank}A=1$ . Prove that $\det (A+I)=\hbox{trace}A+1$ .

參考解答：

證明1. 使用 Schur 三角化定理。存在一個么正矩陣 (unitary matrix) $U$ ， $U^\ast=U^{-1}$ ，使得 $A=UTU^\ast$ ，其中 $T$ 是上三角矩陣且 $\hbox{rank}T=1$ ，即

$T=\begin{bmatrix} t_{11}&t_{12}&\cdots&t_{1n}\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0 \end{bmatrix}$ 。

使用跡數循環不變性，

$\begin{aligned} \det(A+I)&=\det(UTU^\ast+UIU^\ast)=\det(U(T+I)U^\ast)\\ &=(\det U)\det(T+I)(\det U^\ast)=\det(T+I)=t_{11}+1\\ &=\hbox{trace}T+1=\hbox{trace}(U^\ast AU)+1=\hbox{trace}(AUU^\ast)+1\\ &=\hbox{trace}A+1. \end{aligned}$

證明2. 令 $A=\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ ，其中 $\mathbf{u}$ 與 $\mathbf{v}$ 為非零向量。使用 Sylvester 行列式定理，

$\begin{aligned} \det(A+I)&=\det(\mathbf{u}\mathbf{v}^T+I)=\det (\mathbf{v}^T\mathbf{u}+1)=\mathbf{v}^T\mathbf{u}+1\\ &=\hbox{trace}(\mathbf{v}^T\mathbf{u})+1=\hbox{trace} (\mathbf{u}\mathbf{v}^T)+1\\ &=\hbox{trace}A+1. \end{aligned}$

4 Responses to 每週問題 June 26, 2017

m010114 says:

01/15/2018 at 2:35 pm

因為 $\mathrm{rank}(A)=1$ ，所以A必有一個非零的eigenvalue，設此值為 $\lambda$ ，且0必為A的eigenvalue，0的multiclipity為n-1。依此，A可以對角化。

令 $A=PDP^{-1}$ 為A的eigen decomposition，則

$\mathrm{det}(A+I)=\mathrm{det}(P(D+I)P^{-1})=\mathrm{det}(D+I)=\lambda + 1 = \mathrm{trace}(A)+1$

胡霖 says:

03/23/2018 at 12:15 pm

秩1矩阵不一定能对角化吧！例如，A=[0 1; 0 0]，A的两个特征值都是0，rank=1，但是不能对角化。

Alanear says:

10/20/2020 at 10:45 pm

A+I的特征方程：（-1）^n X^(n-1)(X-traceA),令X=-1代入

- Alanear says:
  
  10/21/2020 at 3:52 pm
  
  笔误，前面是A，此外，应该可以从特征向量的角度直接从几何上说明，A有一个非0特征向量a，A*a=traceA*a,I*a=1*a,左右相加，因为特征值就是对应特征向量的拉伸系数，A+I作用在a上的效果就是它行列式的作用效果，所以等式成立。

	陳倍恩 on 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義
	輕鬆談如何教學二項式定理？… on 牛頓的二項式定理 (上)
	madhouse on 高斯消去法
	WishMobile on 翻轉 LU 分解
	周子傑 on Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件
	Cloud Huang on 線性泛函與伴隨