Category Archives: 周老師時間

如何學好線性代數?

線性代數是美國數學教授哈爾莫斯 (Paul R. Halmos) 的專長,他在26歲時出版了一本經典教材《有限維向量空間》(Finite-Dimensional Vector Spaces)。哈爾莫斯在回憶錄《我要做數學家》(I Want to Be a Mathematician) 談到他第一次學習線性代數的悲慘遭遇[1]: 代數課很難,我讀得很生氣。…當我說生氣,我是真的生氣。Brahana 不知道如何說清楚,我們的教材是 Bôcher 的書 (我認為寫得一團糟),我花在這個科目的多數時間裡,我的情緒惱火到憤怒。…不知怎麼的,我的線性代數導論最後倖存下來。過了四、五年,在我取得博士學位,聽了諾伊曼 (von Neumann) 講的算子理論後,我才真正開始明白這個科目到底在講甚麼。 為甚麼線性代數這麼難?從哈爾莫斯說的這段話可以歸結兩個原因:第一是老師很爛,第二是課本很糟。如果學習一門科目的兩個重要 (必要?) 條件不是爛就是糟,我們還能冀望學好它嗎?不過話說回來,即使哈爾莫斯的線性代數啟蒙老師是數學大師諾伊曼,哈爾莫斯未必當下就能真正明白線性代數在講甚麼。我說的真正明白不是指考試拿高分,而是有一天你在洗澡時豁然開悟,奔出浴室光著身子在馬路上邊跑邊叫:「啊哈!我明白了!」老實講,我不認為有那個老師或那本教科書可以讓學生「第一次學線代就上手」。真正全面性的理解線性代數需要時間,需要勤奮練習與堅持思考。

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如果蘇利文是海倫凱勒的線性代數老師

美國著名的教育家海倫凱勒 (Helen Keller) 於19個月大時罹患一種神秘的疾病,一場高燒使她失去了視力和聽力。隨著年齡增長,由於完全無法跟外界溝通,海倫的脾氣變得愈加暴躁。海倫凱勒七歲時,她的父母邀請位於波士頓的柏金斯盲人學校 (Perkins School) 的蘇利文 (Anne Sullivan) 老師前來阿拉巴馬州擔任海倫的啟蒙導師。自己也近乎全盲的蘇利文女士先是耐心地教導海倫學習自制,繼而嘗試教她閱讀。蘇利文在海倫手掌上用聾啞字母拼出日常事物的名稱。剛開始,海倫以為蘇利文老師只是在和她在玩遊戲。海倫記住了這些拼字,卻不明白實際上這些字是有意義的。蘇利文不斷重複洋娃娃和蛋糕這兩個字,海倫只知道模仿蘇利文的動作就能拿到一個洋娃娃或一塊蛋糕,但她卻沒有掌握這些手指動作所隱含的意義:將拼字和物件名稱連繫在一起。直到1887年4月5日,蘇利文拉著海倫到打水幫浦旁,把冷水傾注在她手上時,海倫才終於明白「物件擁有名字」的道理。海倫凱勒在自傳中說: 當冰冷的水流傾洩到我的手時,她在我的另一隻手上拼出水這個字,起初緩慢,隨後越寫越快。我佇立不動,全神貫注於她手指的動作。突然間,我感知到一種模糊的意識,彷彿瞬間憶起某種被遺忘的東西。不知何故,語言對我來說不再神秘。當下我即明瞭「w-a-t-e-r」意指流洩在我手上的美妙冷流。 事後蘇利文在寫給柏金斯盲人學校護士長的一封信中也提到這個奇妙的時刻: 當她感受傾洩在她手上的冷水時,如此接近這個字似乎令她非常震驚。她丟開水壺,呆若木雞地站著。臉上露出全新的光芒。   海倫凱勒終於明白字彙與事物是有關聯的,接下來的幾天,她又學會了幾十個新字。頓悟之後,海倫的世界不斷地擴大,她不僅學會讀、寫,甚至說。1898年,海倫凱勒進入了麻薩諸塞州的劍橋女子學校 (The Cambridge School for Young Ladies),1900年進入哈佛大學拉德克利夫學院 (Radcliffe College) 就讀,並於1904年以優異成績取得文學學士學位,成為第一個畢業於高等院校的聾盲人。海倫凱勒求學期間,蘇利文一直在她身邊陪伴,透過手語將書本和上課內容傳達給海倫[1]。   海倫凱勒說過:「大學並不是獲得想法的地方。」(College isn’t the place to go for ideas.) 如果蘇利文是海倫凱勒的線性代數老師,她會怎麼教,才能使海倫願意收回這句話?蘇利文是一位異於常人的老師,她給自己的任務絕不僅是重述教科書裡的定義或展示推演過程而已,她還希望海倫能夠理解概念的涵義,並獲得對事物的洞察力。蘇利文會鼓勵海倫多思考問題本身而非尋求答案而已,因此她會在每一個問題之後給出一個提示,並指示海倫遵循提示來思考。   今日的主題是奇異值分解 (見“奇異值分解 (SVD)”)。準備好了嗎?開始。

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我的線代書架

“The things I want to know are in books; my best friend is the man who’ll get me a book I ain’t read.”───Abraham Lincoln I 數學專業用書 Finite-Dimensional Vector Spaces, Paul R. Halmos, Springer, 1974. 簡明扼要(不到 200頁)的古典教材,強調向量空間、線性變換和正交,特徵分析較少著墨。PR 另有一本線代著作,Linear Algebra Problem Book … Continue reading

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線性代數的演繹主義

公元 1976 年,劍橋大學出版社於匈牙利數理哲學家伊姆雷‧拉卡托斯(Imre Lakatos,1922-1974)去世後兩年出版其遺作《證明與反駁:數學發現的邏輯》(Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery)。此書最早的中譯本為上海譯文出版於 1987 年發行的康宏逵譯本,2007 年又有復旦大學出版社發行的方剛與蘭釗合譯本。以下為合譯本對該書的介紹[一]。 這篇光輝論著旨在解決數學方法論的基本問題,以一種探索和發現的情境邏輯來代替形式主義和邏輯實證主義的抽象教條。正如拉卡托斯所說,非形式、準經驗的數學的發展,並不只靠逐步增加的毋庸置疑的定理的數目,而是靠以思辨與批評、證明與反駁之邏輯對最初猜想的持續不斷的改進。 本書的寫作形式也頗為新穎,作者以課堂討論的對話形式來展現數學的發現,生動地體現了數學發展的辯證過程。 正因為此,該書還可以作為數學教學的案例,給廣大數學教師提供了一種示範性的教學法。   拉卡托斯稱具有探索和發現的情境邏輯為“啟發法”或“助探論” (heuristic),與之對立的正是長年獨霸數學領域的演繹主義(deductivism),一種形式主義和邏輯實證主義的合體。在《證明與反駁》附錄二“演繹主義方案與助探方案的對立”,第一節“演繹主義體例”中,拉卡托斯以略帶情緒的語句介紹何謂演繹主義體例。我在網上找到康宏逵譯本[二],節錄於下,凡附有編號的腳註皆為作者所加註。 歐幾里得方法論發展了某種不可違抗的敘述體例。我要稱它為“演繹主義體例”。這種體例一開始是不辭辛苦地列一張公理、引理和(或)定義的清單。公理和定義往往像是生造的,是複雜得神秘不堪的。無從得知這麼複雜的東西是怎麼鑽出來的。跟在公理和定義清單後面的是措辭審慎的定理。其中塞滿了繁而又繁的條件,看上去誰也不可能有幸矇出這樣的條件。跟在定理後面的是證明。 根據歐幾里得的禮儀,學數學的都有義務小心伺候這套念咒的把戲,緘口不問背景,不問戲法是如何變成的。假使徒弟無意間發現有一些不雅觀的定義是證明生成的,假使他不加掩飾地懷疑這些定義、引理、定理怎麼會走在證明前面,那就暴露了他在數學上的幼稚,法師就要因此將他依法流放(1)。 註(1):有些教科書聲稱,作者不期待讀者有任何預備知識,只期待讀者在數學上相當成熟。這話的真意往往是指,他們期待讀者天生就有作歐幾里得式論證的“能力”、對發問背景、對論證背後的助探過程則全無不合天性的興趣。   傳統線性代數教科書到處可見演繹主義體例的蹤影。看看 Hoffman 和 Kunze 合著的線性代數教科書[三],此書過去曾被許多教師奉為經典,在我求學的那個年代,學子們也以書架上擺放著這本“線代聖經”為傲。(諷刺的是,越是經典往往越不適合自修。多數的教科書是寫給同行教師看,而非為初學者撰述,因為教師才有權決定採用哪一本教科書。)H-K 在介紹了子空間之後,2-3 節講述向量空間的基底和維數,起頭就說: 現在我們開始進行向量空間維數的工作。雖然我們常將“維數”和幾何上的某些觀念關聯,我們必須尋求向量空間維數的一個適當代數定義。我們將由向量空間基底的觀念開始。 第一段先宣告向量空間有維數與基底這兩個屬性,接著,H-K 突然引進線性獨立與線性相依的定義: 定義:設 為佈於 的一個向量空間。 的子集合 稱為線性相依(或簡稱相依)若且為若存在一組相異向量 和 … Continue reading

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線代入道要門論

序 線性代數者,代數之支也。此學究方程解而來,以結構為本,空間為體,變換為法,演算為用耳[一]。凡學者斷不可不知,而亦至不易究也;蓋其體系洸洋瑰麗,理論精微博大,匯泰西疇人(註一)之大略,集百家藝學(註二)之菁華。初,制定義,設公理;及後,論證明,演算法。徐光啟曰:「不用為用,眾用所基。」線代一門,取經用宏,肆應不窮,可謂當今應數之大功,算學之大成耳。是故銳心學者當奮不顧身,戮力鑽研,索理究解,切毋思逸而廢焉。

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線代求生指南:矩陣代數篇

求生指南不是完全攻略手冊,注意這個關鍵字──求生,既非戰勝亦非征服。求生指南不是要教你成為專業線代殺手,想要奉獻畢生心力練就絕世武功的朋友,請前往其他訓練機構尋求幫助。我撰寫這份求生指南的目的是提供那些只擁有少許時間與資源的一般大眾──那些拒絕成為下一個線代受害者的良善公民──一個臨危逃生指引。這裡所記載的求生之道絕非紙上談兵,其中部分來自幸運生還者的口述回憶,部分取自我個人的慘痛經驗。不論基本原則、施行方法或戰鬥技巧均已通過無數次嚴苛的現實考驗,普遍被專家學者證明確實有效。有句話說:知識是求生的唯一法寶。這話只說對了一半,剩下來的問題是讀者個人有多堅強的求生意志? 這段文字的靈感來自於 The Zombie Survival Guide (中譯:打鬼戰士1:世界末日求生指南) 的前言。不必懷疑,這書正放在我的書架上。

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舒緩線代壓力的格言錄

挪威畫家孟克完成於1892年的名作《吶喊》(The scream) 反映了現代人受存在主義焦慮侵擾的意境,下文引用自《視覺素養學習網》的說明[1]: 在這幅畫上,沒有任何具象物體暗示正在發出尖叫聲,只見中央有一個令人毛骨悚然的孤獨人形,似乎正從我們身邊走過。他捂著耳朵,幾乎聽不見那兩個遠去的行人的腳步聲,也看不見遠方的兩隻小船和教堂的尖塔。這一完全與現實隔離了的孤獨者所呈現的變形、扭曲的尖叫面孔、圓睜的雙眼和凹陷的臉頰,使人想到了與死亡相聯繫的骷髏。

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學線性代數有什麼用?

如果不熟悉線性代數的觀念,如線性、向量、線性空間、矩陣等,在現今幾乎可說是自然科學或許也是社會科學的文盲。 ───戈丁 (Lars Gårding)《數學概觀》[1]   2009年1月26日華爾街日報刊登一篇關於職業優劣評比的報導,標題為〈學數學找個好工作〉(Doing the Math to Find the Good Jobs),該文引述克蘭茨 (Les Krantz) 根據美國勞工統計局與人口普查局 (U.S. Bureau of Labor Statistics and the Census Bureau) 的資料所做的一項整理研究,依據五項指標:工作環境、所得、職業前景、體力要求和壓力,針對200種職業評比排名[2]。

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快快樂樂學線代 (下篇)

數學是一種語言。線性代數的主要理論建立於十九世紀英國維多利亞時期,線性代數當然也使用如同珍‧奧斯汀小說「傲慢與偏見」裡的優美典雅文辭。

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快快樂樂學線代 (中篇)

聖嚴法師生前曾有句四他真言:「面對他,接受他,處理他,放下他。」 我們就試著用四他真言來減輕學習線代的痛苦。

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