Category Archives: 希爾伯特空間

賦範向量空間

本文的閱讀等級:中級 向量空間是一種代數結構,其中定義兩個運算:向量加法與純量乘法。令 為向量空間 的一組基底,意指 是一個線性獨立集,且每一個向量 可表示為 的線性組合 (見“基底與維數常見問答集”)。若基底是一個有限集,則 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。有限維向量空間比無限維向量空間容易分析,但有限維向量空間的概念與定理未必適用無限維向量空間。用一個例子說明。令 代表實序列 ,或記為 ,形成的無限維向量空間 (見“向量空間與實例”)。實序列空間 似乎是有限維向量空間 的直接推廣,實則不然。在 ,兩個序列 與 的加法定義為 ,純量 與序列 的乘法定義為 。套用有限維向量空間 的向量構造方式, , 其中 的第 元為 ,其餘元為 。表面上, 是所有 的「無限線性組合」構成的集合,但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的,譬如, 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢?數學家想出一個方法:考慮無限多個向量 的部分和,,,並期待向量序列 收斂至某個向量 ,也就是說隨著 增大,序列 越來越接近 。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 與 之間的「距離」,或者說 … Continue reading

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無限維向量空間的基底

本文的閱讀等級:高級 向量空間 的一組基底是一個向量集合 ,滿足兩個條件 (見“基底與維數常見問答集”): 是一個線性獨立集,即 蘊含 ; 生成 (span) ,即任何一個向量 可表示為 的線性組合,。 若基底是一個有限集,則 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。任何一個有限維向量空間都存在一組基底,維數定理 (dimension theorem) 聲明:有限維向量空間的任一組基底包含的向量數等於其他任何基底的向量數 (證明見[1],為了不中斷討論,證明都放在文末的註解)。根據維數定理,有限維向量空間 的維數定義為任何一組基底的基數 (cardinal number,集合的元素數),記為 。例如, 是所有的 維實向量 構成的向量空間,標準基底為 ,其中 是標準單位向量 (第 元為 ,其餘元為 ),故 。另外, 是所有的次數不大於 的複係數多項式 構成的向量空間,標準基底為 ,因此 。下面列舉幾個無限維向量空間[2]: 是複係數多項式 構成的向量空間; … Continue reading

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歐幾里得空間的數學結構

本文的閱讀等級:中級 歐幾里得空間 是有序數組 (稱為點或向量) 形成的集合,其中 為實數。在歐氏幾何中,譬如平面幾何與空間幾何,我們可以計算兩點之間的距離、多個向量的線性組合 (向量加法與純量乘法)、向量的長度,以及兩個向量之間的夾角。數學家將這些概念予以抽象化,並用公設化方式定義出不同的數學結構,稱為空間。在數學中,空間一詞並不單獨存在,我們可以稱 是一個集合,但不講 是一個空間。粗淺地說,空間是一個賦予某種數學結構的集合,該數學結構決定空間的名稱,例如線性代數讀者熟悉的向量空間。本文概述歐氏空間 的一些數學結構,背後的目的是將有限維空間延伸至無限維空間,其中最重要的一個特例是希爾伯特 (Hilbert) 空間。

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從幾何向量空間到函數空間

本文的閱讀等級:中級 基礎線性代數課程常將討論的向量空間侷限於有限維幾何向量空間 ,主要的原因有兩個:第一是不需要透過座標映射便可將矩陣結構與向量空間結合在一起;第二是幾何向量空間,譬如 與 是高中座標幾何的延伸,由此較容易建立起向量空間的觀念。本文採用問答方式,一步步系統化地介紹如何將幾何向量空間延伸推廣至函數空間。

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