Category Archives: 機率統計

本文的閱讀等級：初級 在機率學，一個實驗 (experiment) 由下列三個概念設定 (見“機率學的基本語彙”)： 樣本空間 包含所有可能的實驗結果， 定義於 的所有事件， 每一個事件的機率。 現實問題中，實驗結果常被賦予可度量的性質。舉例來說，考慮投擲一枚硬幣 次，結果 可用字元 (正面) 與 (反面) 所組成的長度為 的字串表示。這個實驗的樣本空間 有 個字串 (元素)。假設我們關心出現正面的次數，令函數 等於字串 所含的 字元數，例如，，，。函數 的值域為 。對於 ，存在 個字串 使得 ，其中 代表從100個元素選取 個元素的組合數。因此， (見“二項式係數與組合問題”)。在建立機率模型時，以函數 的值域取代樣本空間有兩個明顯的好處：第一，函數 由我們所考慮的問題決定，據此建立的模型呈現問題情境。第二，函數 的值域是數組成的集合故而便利計算。我們在實驗的樣本空間 上制定的函數 引申出機率學的一個核心概念，稱為隨機變數 (random variable)。

本文的閱讀等級：初級 考慮投擲一枚硬幣，樣本空間為 ，其中 (head) 表示擲出正面， (tail) 表示擲出反面。設 ，則 。任何一個參數 都可定義合法的機率函數，因此存在無窮多個機率函數，我們應該挑選那一個？機率函數制定的目的是為了準確預測未來事件發生的可能性。假如投擲一枚硬幣非常多次，我們期待參數 等於正面出現的次數與總投擲次數的比值。統計學提供了運用實驗數據來選取參數 的方法，稱為估計。我們可以進行多次擲幣試驗，假如投擲一枚硬幣100次，共出現54次正面，可設 ，以後便使用這個機率函數來預測未來的擲幣實驗結果 (見“機率學的基本語彙”)。本文討論這個估計方法背後的機率學基礎。

本文的閱讀等級：初級 假設有兩個甕，第一個甕裡面有3顆紅球，第二個甕裡面有2顆紅球和1顆白球。我們隨機選擇一個甕，然後從中抽出2顆球。假設結果是2顆紅球，留在甕裡的那顆球是紅球的機率有多大？ 我們挑選的甕是第一個甕或第二個甕的機率同為 。從甕中抽出了2顆紅球，如果這是第一個甕，留在甕裡的那顆球便是紅球，如果這是第二個甕，留在甕裡的那顆球則是白球，因此推論答案是 。這個推論過程可能符合許多人的直覺，但為了檢驗這條思路的正確性，我們不妨變換問題敘述看看結果如何。假設第一個甕裡面有30顆紅球，第二個甕裡面有20顆紅球和10顆白球。如果從隨機選出的甕中抽出20顆球，結果全部是紅球，你確定留在甕裡的10顆球是紅球的機率仍為 ？前後兩個問題的題幹相似，但我們可能對後面這個問題的答案抱持懷疑，因為從第二個甕中抽出20顆球，剛好都是紅球的機率似乎不大。的確，從第二個甕中抽取出20顆紅球的機率為 ， 其中 是二項式係數，即從包含30個元素的集合中選取20個元素的組合數 (見“二項式係數與組合問題”)。數字會說話，現在我們改變心意了。眼前選出的這個甕非常可能是第一個甕，也就是說留在甕裡面的10顆球是紅球的機率接近1。這意味在原先的問題中，甕裡的那顆球是紅球的機率應該大於 。愛因斯坦說：「唯一真正有價值的東西是直覺[1]。」對於機率問題，直覺卻常常給出錯誤的答案。

本文的閱讀等級：初級 我發現數學很容易，但我還是喜歡探索事物。你必須有必要的資訊。例如，平均數與中位數的差異是甚麼？機率學讓我著迷。你必須非常仔細地考慮事情，這也正是我心靈運作的方式。 ───英國作家丹尼爾·譚米特 (Daniel Tammet) [1]   機率學 (概率論) 是一個研究機會與運氣的數學領域。機率雖然經常出現於日常語言，但學者往往對於機率學的概念有所誤解或認為難以捉摸。我想到的原因有兩個層面。第一是觀念面的原因。機率學有它自己的奧術語彙，掌握這些必要的語彙是建立模型與精準推理的前提。一些看似簡單的機率問題，答案常常違反直覺甚至可能讓專業數學家跌破眼鏡﹐原因即在於誤入思考的陷阱。第二是技術面的原因。許多機率問題無法用簡單的排列組合計算，必須引進較為複雜的方法。譬如，投擲一枚公正的硬幣20次，求連續4次正面出現的機率涉及解遞歸關係式 (見“利用馬可夫鏈計算擲幣事件發生的機率”)，而連續機率分布問題則難以免除技巧性的積分運算。我們研習任何一門學科總要先從觀念面下手，本文列舉一些基本的機率學詞彙並解釋它們的意義 (其他重要的詞彙將專文介紹)。

網友Yanjun Li留言： 近期拜讀了周老師寫的變異數矩陣，主成份分析，奇異值分解等專題，感覺對線性代數的一些知識有了重新認識。在閱讀過程中，產生了一些疑問，請周老師不吝賜教： 是兩兩互不相關的變量，另有 和 兩個變量，是 的線性組合： 如果 中的某一個係數明顯比其餘每一個係數大很多，同時 中的某一個係數明顯比其餘每一個係數大很多，並且兩組係數中，最大的 和 滿足 不等於 。當滿足上述條件時，是否可以認為， 和 的相關程度很低？ 如果 中的某一個係數大於其餘每一個係數，同時 中的某一個係數大於其餘每一個係數，並且兩組係數中，最大的 和 滿足 不等於 。當滿足上述條件時，是否可以認為， 和 的相關程度不高？ 與 之間的共變異數，是否可以用 和 ，以及 的變異數，計算出來？ 感謝周老師在百忙之中閱讀我的問題！

本文的閱讀等級：初級 在組合數學，從包含 個元素的集合中選取 個元素的組合數 (不考慮次序)，記為 ，稱為二項式係數 (binomial coefficient)。我們先推導 的計算公式。設想有 個人在排隊買電影票，我們可以從 個人中選一人排在第一個位置，再從剩下的 個人裡選一人排在第二個位置，餘此類推，共有 種排列方式。再考慮第二種算法。電影院為鼓勵大眾及早排隊購票，特意準備了 張椅子，，供給排在最前面的 個人歇坐。針對這個情況，從 個人中選取 個人進入歇坐區有 種方式，歇坐區內的 個人有 種排列方式，歇坐區外的 個人有 種排列方式，因此 個人排隊共有 種排列方式。合併上面兩個結果，即得 ， 並定義邊界條件 。根據對稱性，。   問題1：你邀請 位好友參加生日宴會，至少有一人出席生日宴會的來賓組合共有多少種？ 因為至少有一個人出席派對，出席來賓的組合方式有 。   問題2：投擲一枚公正硬幣 次，出現至少一次正面的機率 (概率) 是多少？ 出現 次反面的機率是 ，所以出現至少一次正面的機率是 … Continue reading →

本文的閱讀等級：初級 《聖經》創世紀41(17-32)記載約瑟為法老解夢的故事。 法老對約瑟說：「我夢見我站在河邊，有七隻母牛從河裡上來，又肥壯又美好，在蘆荻中吃草。隨後又有七隻母牛上來，又軟弱又醜陋又乾瘦，在埃及遍地我沒有見過這樣不好的。這又乾瘦又醜陋的母牛吃盡了那以先的七隻肥母牛，吃了以後卻看不出是吃了，那醜陋的樣子仍舊和先前一樣。我就醒了。我又夢見一棵麥子，長了七個穗子，又飽滿又佳美。隨後又長了七個穗子，枯槁細弱，被東風吹焦了。這些細弱的穗子吞了那七個佳美的穗子。我將這夢告訴了術士，卻沒有人能給我解說。」 約瑟對法老說：「法老的夢乃是一個，神已將所要做的事指示法老了。七隻好母牛是七年，七個好穗子也是七年。這夢乃是一個。那隨後上來的七隻又乾瘦又醜陋的母牛是七年，那七個虛空、被東風吹焦的穗子也是七年，都是七個荒年。這就是我對法老所說，神已將所要做的事顯明給法老了。埃及遍地必來七個大豐年，隨後又要來七個荒年，甚至埃及地都忘了先前的豐收，全地必被饑荒所滅。因那以後的饑荒甚大，便不覺得先前的豐收了。至於法老兩回做夢，是因神命定這事，而且必速速成就。」 從古至今，世上每一個文明總會對「好景難常在，過眼韶華如箭」發出無奈的感嘆。然而，我們也都相信「柳暗花明又一村」，事情終有好轉的一天。「樂極生悲」和「否極泰來」真的是大自然的定則嗎？