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本文的閱讀等級：初級 考慮下列 階線性非齊次遞迴關係式 (linear nonhomogeneous recurrence relation) ， 其中 是常數，， 稱為控制項。如果移除 ， 稱為關聯齊次遞迴關係式 (associated homogeneous recurrence relation)。令數列 為滿足非齊次遞迴關係式的一個特解 (particular solution)，數列 為滿足關聯齊次遞迴關係式的齊次解 (homogeneous solution)。非齊次遞迴關係式的任一解 (即通項) 可表示為 ，證明於下：因為 是一個特解， 。 假設 是任何一個非齊次遞迴關係式的解，即有 。 令上面兩式相減， 。 因此， 滿足關聯齊次遞迴關係式，可得 。本文討論非齊次遞迴關係式的控制項為 的解法，其中 是一個多項式， 是一常數。

本文的閱讀等級：初級 這篇短文證明一個關於階乘的恆等式：對於所有的非負整數 和實數 ， 。 上式可用於證明：對於任何一個 () 次多項式 ， 。

本文的閱讀等級：初級 令 是一開集， 是連續可微函數，且 是連續可微向量函數。純量函數 的梯度 (grad)，向量函數 的散度 (div) 和旋度 (curl) 定義如下 (見“梯度、散度與旋度”)： 。 本文整理出一些梯度、散度與旋度的恆等式，並提供證明。

網友林聖興： 老師您好，看見有人對於“梯度、散度與旋度”第14條公式有疑問 (註：)，我一時好奇，試著推演看看，答案是 ，沒錯！ 以MathType打字，附檔裡面有彩色，我不大會用LaTeX的方式操作網頁回覆，寄給您參考。 div(grad f cross grad g)

本文的閱讀等級：初級 四元數 (quaternion) 是愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 於1843年提出的數學概念。任一複數 可表示為實數與虛數之和，，其中 是實數， 是虛數單位。哈密頓明白複數可視為平面上的一個點，他一心想將這個概念延伸至三維空間。在三維空間中，每一個點可由其座標表示，即 3 個有序數 。哈密頓知曉這些點的加法與減法運算，但一直想不透該如何計算乘法與除法。1843年10月16日，哈密頓與夫人在前往都柏林愛爾蘭皇家學會主持會議的途中，沿著皇家運河 (Royal Canal) 旁的小徑散步經過 Brougham (又名 Broom) 橋，突然靈光乍現腦中冒出四元數的基本公式[1]。今天在 Brougham 橋西北方下側安置了一塊石頭牌匾記載這段往事 (刻文見[2])。哈密頓定義的四元數是一個實數加上三個虛部，如下： ， 其中 是實數，虛數單位 滿足下列基本公式： 。

本文的閱讀等級：初級 英國劍橋大學在1660年代並非現代人所認知的環境優美且人文薈萃的學術殿堂。當時劍橋的學術發展不僅落後歐洲大陸，同時還是一個危險的地方。劍橋居民有八千人，其中近三千名學生和教職員工，生活在占地不到一平方英里的城區。建築物人滿為患，白天商人、乞丐、失學兒童和穿黑長衫的學生擠在骯髒污穢的街道；夜晚城鎮昏暗無光，人身安全受到無所不在的盜賊威脅[1]。表面上，學院維持著活躍的學術生活假象；實際上，學院的教學仍遵循古老的亞里士多德學說，有些教授長年霸佔教職卻不執教，學生寧願耽迷在小酒館尋歡作樂[2]。1665年至1666年，英國爆發大規模的鼠疫，導致超過10萬人死亡，劍橋大學因此被迫關閉[3,4]。1666年9月2日至5日，倫敦發生史上最嚴重的火災，大約六分之一的建築被燒毀，估計造成城市8萬人口之中的7萬居民無家可歸[5]。儘管身處災禍四起的時代，特立獨行的牛頓依然專注於自己的學業，他在1665年發現廣義二項式定理，同年並獲得了學位。學校關閉的兩年中，牛頓在家鄉研究一套新的數學理論 (即微積分學)，直到1667年才以研究生身分重返劍橋大學三一學院。半個世紀後，年老的牛頓回憶萬有引力的雛型理論如何誕生時，他說[6]：「所有這些皆在1665年至1666年的鼠疫期間產生的，因此這些日子是我發明及專注於數學與哲學最精華的歲月。」

本文的閱讀等級：初級 公元1676年，萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 向牛頓 (Isaac Newton) 探詢廣義二項式定理的發現過程。6月13日，牛頓透過英國皇家學會 (The Royal Society) 秘書奧登堡 (Henry Oldenberg) 轉寄回函[1]。在這封信中，牛頓寫出下列無窮級數，並稱之為定理[2]： 牛頓解釋 是所考慮的二項式， 是第一項， 是剩餘項除以 ； 可以是整數或分數，為正或負。他舉了一個例子， 對應 ， ， ， [3]。等式右邊的 代表第一項 ， 代表第二項 ，餘此類推。換句話說， 。從現代人的眼光來看，牛頓描述的公式顯得深奧晦澀。為甚麼 要出現兩次？何不將 寫成 ？再來，為甚麼不展開等號右邊各項，列出 的顯式表達？原因無他，牛頓的用意在於簡化計算，稍後將說明。我們要討論的第一個問題，也就是萊布尼茲的疑問：牛頓是怎麼得到這條公式的？

本文的閱讀等級：初級 美國數學教授維爾夫 (Herbert Wilf) 說[1]：「母函數 (生成函數，generating function) 是一列用來展示一串數字的掛衣架。」母函數是一數列 的一種形式冪級數 (formal power series)，其中每一項的係數可以提供關於這個數列的訊息。母函數有多種不同的形式，數列 的普通母函數為 母函數 本身並不是一個從某個定義域映射至某個值域的函數，變數 沒有甚麼特別的意義，取名「函數」僅是出於歷史原因。母函數是一個代數物件而非分析物件，我們只對它的表達形式感興趣，並不關心它是否收斂。母函數經常源自遞迴關係式 (即差分方程)。本文將介紹如何利用母函數方法解出遞迴關係式的代數式。由於我們完全忽略收斂性，母函數方法是否能經得起推敲不免令人生疑。不過母函數至少能夠導出遞迴關係式的猜想，而猜想又可以用數學歸納法來證明。