Category Archives: 特別主題

Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件

本文的閱讀等級:中級 在優化理論,Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件是非線性規劃 (nonlinear programming) 最佳解的必要條件[1]。KKT 條件將 Lagrange 乘數法 (Lagrange multipliers) 所處理涉及束縛等式的約束優化問題推廣至不等式。在實際應用上,KKT 條件 (方程組) 一般不存在代數解,許多優化算法可供數值計算選用[2]。這篇短文從 Lagrange 乘數法推導 KKT 條件並舉一個簡單的例子說明解法。 Advertisements

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常係數線性遞迴關係式 (下)

本文的閱讀等級:初級 考慮下列 階線性非齊次遞迴關係式 (linear nonhomogeneous recurrence relation) , 其中 是常數,, 稱為控制項。如果移除 , 稱為關聯齊次遞迴關係式 (associated homogeneous recurrence relation)。令數列 為滿足非齊次遞迴關係式的一個特解 (particular solution),數列 為滿足關聯齊次遞迴關係式的齊次解 (homogeneous solution)。非齊次遞迴關係式的任一解 (即通項) 可表示為 ,證明於下:因為 是一個特解, 。 假設 是任何一個非齊次遞迴關係式的解,即有 。 令上面兩式相減, 。 因此, 滿足關聯齊次遞迴關係式,可得 。本文討論非齊次遞迴關係式的控制項為 的解法,其中 是一個多項式, 是一常數。

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一個關於階乘的恆等式

本文的閱讀等級:初級 這篇短文證明一個關於階乘的恆等式:對於所有的非負整數 和實數 , 。 上式可用於證明:對於任何一個 () 次多項式 , 。

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梯度、散度與旋度的恆等式

本文的閱讀等級:初級 令 是一開集, 是連續可微函數,且 是連續可微向量函數。純量函數 的梯度 (grad),向量函數 的散度 (div) 和旋度 (curl) 定義如下 (見“梯度、散度與旋度”): 。 本文整理出一些梯度、散度與旋度的恆等式,並提供證明。

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二梯度的外積的散度為零之證明

網友林聖興: 老師您好,看見有人對於“梯度、散度與旋度”第14條公式有疑問 (註:),我一時好奇,試著推演看看,答案是 ,沒錯! 以MathType打字,附檔裡面有彩色,我不大會用LaTeX的方式操作網頁回覆,寄給您參考。 div(grad f cross grad g)

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四元數

本文的閱讀等級:初級 四元數 (quaternion) 是愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 於1843年提出的數學概念。任一複數 可表示為實數與虛數之和,,其中 是實數, 是虛數單位。哈密頓明白複數可視為平面上的一個點,他一心想將這個概念延伸至三維空間。在三維空間中,每一個點可由其座標表示,即 3 個有序數 。哈密頓知曉這些點的加法與減法運算,但一直想不透該如何計算乘法與除法。1843年10月16日,哈密頓與夫人在前往都柏林愛爾蘭皇家學會主持會議的途中,沿著皇家運河 (Royal Canal) 旁的小徑散步經過 Brougham (又名 Broom) 橋,突然靈光乍現腦中冒出四元數的基本公式[1]。今天在 Brougham 橋西北方下側安置了一塊石頭牌匾記載這段往事 (刻文見[2])。哈密頓定義的四元數是一個實數加上三個虛部,如下: , 其中 是實數,虛數單位 滿足下列基本公式: 。

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牛頓的二項式定理 (下)

本文的閱讀等級:初級 英國劍橋大學在1660年代並非現代人所認知的環境優美且人文薈萃的學術殿堂。當時劍橋的學術發展不僅落後歐洲大陸,同時還是一個危險的地方。劍橋居民有八千人,其中近三千名學生和教職員工,生活在占地不到一平方英里的城區。建築物人滿為患,白天商人、乞丐、失學兒童和穿黑長衫的學生擠在骯髒污穢的街道;夜晚城鎮昏暗無光,人身安全受到無所不在的盜賊威脅[1]。表面上,學院維持著活躍的學術生活假象;實際上,學院的教學仍遵循古老的亞里士多德學說,有些教授長年霸佔教職卻不執教,學生寧願耽迷在小酒館尋歡作樂[2]。1665年至1666年,英國爆發大規模的鼠疫,導致超過10萬人死亡,劍橋大學因此被迫關閉[3,4]。1666年9月2日至5日,倫敦發生史上最嚴重的火災,大約六分之一的建築被燒毀,估計造成城市8萬人口之中的7萬居民無家可歸[5]。儘管身處災禍四起的時代,特立獨行的牛頓依然專注於自己的學業,他在1665年發現廣義二項式定理,同年並獲得了學位。學校關閉的兩年中,牛頓在家鄉研究一套新的數學理論 (即微積分學),直到1667年才以研究生身分重返劍橋大學三一學院。半個世紀後,年老的牛頓回憶萬有引力的雛型理論如何誕生時,他說[6]:「所有這些皆在1665年至1666年的鼠疫期間產生的,因此這些日子是我發明及專注於數學與哲學最精華的歲月。」

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牛頓的二項式定理 (上)

本文的閱讀等級:初級 公元1676年,萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 向牛頓 (Isaac Newton) 探詢廣義二項式定理的發現過程。6月13日,牛頓透過英國皇家學會 (The Royal Society) 秘書奧登堡 (Henry Oldenberg) 轉寄回函[1]。在這封信中,牛頓寫出下列無窮級數,並稱之為定理[2]: 牛頓解釋 是所考慮的二項式, 是第一項, 是剩餘項除以 ; 可以是整數或分數,為正或負。他舉了一個例子, 對應 , , , [3]。等式右邊的 代表第一項 , 代表第二項 ,餘此類推。換句話說, 。從現代人的眼光來看,牛頓描述的公式顯得深奧晦澀。為甚麼 要出現兩次?何不將 寫成 ?再來,為甚麼不展開等號右邊各項,列出 的顯式表達?原因無他,牛頓的用意在於簡化計算,稍後將說明。我們要討論的第一個問題,也就是萊布尼茲的疑問:牛頓是怎麼得到這條公式的?

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第二類 Stirling 數與貝爾數

本文的閱讀等級:中級 考慮這個組合數學問題:包含 個元素的集合 劃分為 個等價類的方法數是多少?也就是說,總共有多少種方式將集合 劃分為 個兩兩不交集的非空子集?以符號 或 代表此數,稱之為第二類 Stirling 數 (因蘇格蘭數學家 James Stirling 而得名[1])。明顯地, 。看一個 的例子, 劃分為 類的所有可能方式如下: 因此, 。考慮集合 加入數字 ,區分為兩個情況:數字 單獨構成一類,只有 一種劃分法;數字 加入上面的 種劃分的其中一個等價類,共有 種可能。所以, 。重複此程序可以歸納出 。不過,這個演繹過程不容易推廣至 。下面我們運用母函數 (生成函數,generating function) 方法推導第二類 Stirling 數的顯式表達式。

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遞迴關係式的母函數解法

本文的閱讀等級:初級 美國數學教授維爾夫 (Herbert Wilf) 說[1]:「母函數 (生成函數,generating function) 是一列用來展示一串數字的掛衣架。」母函數是一數列 的一種形式冪級數 (formal power series),其中每一項的係數可以提供關於這個數列的訊息。母函數有多種不同的形式,數列 的普通母函數為 母函數 本身並不是一個從某個定義域映射至某個值域的函數,變數 沒有甚麼特別的意義,取名「函數」僅是出於歷史原因。母函數是一個代數物件而非分析物件,我們只對它的表達形式感興趣,並不關心它是否收斂。母函數經常源自遞迴關係式 (即差分方程)。本文將介紹如何利用母函數方法解出遞迴關係式的代數式。由於我們完全忽略收斂性,母函數方法是否能經得起推敲不免令人生疑。不過母函數至少能夠導出遞迴關係式的猜想,而猜想又可以用數學歸納法來證明。

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