Category Archives: 答讀者問

答DJWS──關於以鏡射變換實現矩陣轉置

網友DJWS留言: 想請教老師一個問題:給定矩陣 ,使用一連串的鏡射變換,變成其轉置 ,該如何做呢? Advertisements

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答王昭晴──關於線性代數之“線性”一詞的涵義

網友王昭晴留言: 老師您好,我最近在回顧過去所學的線性代數時開始有了一些問題。這些事過去不曾仔細思考過就當作一個名詞走馬看花的過去了。尤其是關於“線性”兩個字。為何要特別叫“線性”呢?我的意思是線性代數中一些定義會加註線性兩個字,例如線性向量空間 (linear vector space) 與方程式或者向量的線性組合 (linear combination)。為何要特別稱此二者為線性?難道有非線性的向量空間與非線性的組合嗎?而“線性”二字是否有除了線性方程式以外更深層的意思呢?還是說僅僅只是因為線性代數的發展是從線性方程式開始研究起,就稱作線性了呢?

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答erofish──關於 Gramian 行列式不為零的充要條件

網友erofish留言: 老师您好!非常喜欢您在博客上讲述的与线代有关的知识。最近学习数值分析的课程遇到了 Gram 矩阵,书上仅仅从内积空间的4个性质 (正定,齐次,分配,交换) 就证明了 Gram 矩阵行列式不为 的充要条件是 线性无关。我自己做推导却怎么也推不出来。不知道您能否在这篇博文 (見“特殊矩陣 (14):Gramian 矩陣”) 里面讲的更加详细一点,谢谢!

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答Yanjun Li──關於多隨機變數的兩個線性組合的共變異數

網友Yanjun Li留言: 近期拜讀了周老師寫的變異數矩陣,主成份分析,奇異值分解等專題,感覺對線性代數的一些知識有了重新認識。在閱讀過程中,產生了一些疑問,請周老師不吝賜教: 是兩兩互不相關的變量,另有 和 兩個變量,是 的線性組合: 如果 中的某一個係數明顯比其餘每一個係數大很多,同時 中的某一個係數明顯比其餘每一個係數大很多,並且兩組係數中,最大的 和 滿足 不等於 。當滿足上述條件時,是否可以認為, 和 的相關程度很低? 如果 中的某一個係數大於其餘每一個係數,同時 中的某一個係數大於其餘每一個係數,並且兩組係數中,最大的 和 滿足 不等於 。當滿足上述條件時,是否可以認為, 和 的相關程度不高? 與 之間的共變異數,是否可以用 和 ,以及 的變異數,計算出來? 感謝周老師在百忙之中閱讀我的問題!

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答黃胤凱──關於 Jacobian 矩陣與臨界點的定義

網友黃胤凱留言: 周老師您好!想請問周老師,當我們在定義 函數的 critical point 是指該點的 gradient=。但在 的函數上,為何定義卻變成是該點的 Jacobian matrix 不是滿秩即為 critical point?要如何理解這個條件?背後有沒有什麼原因造成這個條件呢?

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答Xiaoyang Su──關於歐拉多面體公式的線性代數證法

網友Xiaoyang Su留言: 請老師指點歐拉多面體公式:頂點數+面數=邊數+2,和綫性代數中的秩─零化度定理的關係是什麽?

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答Vahi Chen──關於矩陣的轉置的線性變換表示矩陣

網友Vahi Chen留言: 周老师,您好!向您请教一个问题。我们知道: 线性变换可以表示为矩阵的乘积; 矩阵的转置是一个线性函数; 不存在一个矩阵 ,使得对于任意一个矩阵 ,都有 。 但若给定一个矩阵 ,我们是否总能找到一个矩阵 ,使其满足 ?而显然答案是否定的。考虑 ,满足该等式的 并不存在。所以,我的疑问是既然矩阵转置是线性函数,而线性函数又可以表示为矩阵的乘积,但针对上述的特例,这样的矩阵却有可能不存在。“可以表示”和“有可能不存在”这两者是否互为矛盾,或者这二者之间存在怎样的一种联系?是否可以说:“线性变换并不总是能表示为矩阵的乘积,因为这样的矩阵可能并不存在”?

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答林聖興──關於方程式的重根表達問題

網友林聖興留言: 周教授您好,在國中時期,解一元二次方程式例如 化簡為 。方程式有重根 與 ,如果僅寫一個 ,沒寫兩個 ,會被老師說答錯。在高中時期,遇到三次方程 化簡可得 ,知方程式有三重根 與 與 。高中生大概也會感覺無聊,可能心中有個疑惑,僅寫一個 ,難道不行嗎?遇到這種看似「哲學」的疑問,也不敢向老師問為什麼,想要拿分數,只好照規定作答,有能力答對,似乎沒有圓滿的解釋。   我高中畢業到現在將近三十年,這五年陸續看了一些周教授您的線代啟示錄,偶爾也回憶高中時期的想法,有一天,像是頓悟了!三階方陣的 eigenvalue,在解 eigen equation 的過程,若有重根,三個數字皆相同,不可僅寫一個,必需要有三個數字,而那三個數字是恰好相同的。這好像可以作為我們需要「重根」的理由,而高中國中學生還沒到開悟的年紀。進入大學有能力開悟,也未必有人點醒。不知有多少人,能夠回顧自身學習歷程,把曾經在心中的疑惑,好好解答。   台灣現在的教育環境,似乎考試拿分數最重要,很少人思考這些細微枝節。以上個人想法,老師您有沒有興趣寫一篇文章?(我好像還沒看到您部落格有這樣的文章探討) 我的文字僅供參考,可以自由刪減、變化,如果對大家有益,應該值得寫,不必列出我的姓名,只要稱呼我「網友」即可。

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答Eden──關於么正矩陣的冪

網友Eden留言: 老師您好,最近因為研究上發現 unitary 矩陣的一個現象:假設 為一個 的 unitary 矩陣, 的 次方 ( 為某個 的倍數) 必定會變成單位矩陣。自己一直從 unitary 的特徵值 (特徵值大小都會是1) 變化去思考,但目前還是只知道次方項 會是 的倍數,想了解 和 之間的確切關係。不知道老師對我提的問題是否清楚,方便給點提示或是思考方向之類的嗎?

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答William──關於凸包的映射問題

網友William留言: 老師,您好!我不是您的學生,但是又有一個問題苦無解決辦法,因此想向老師尋求協助。問題是這樣的:群組A內有 ,,五個點。其中 ,,, 為一矩形的四個端點,而 位於矩形的範圍內或邊線上。群組B內有 ,,五個點。現在假設存在一張對應表: 查表後的值為 ,,求 查表後的值 ,並以 ,,和 ,,表示。我不知道這個問題是否適合由線性代數解決,也不曉得應該從那裡下手。懇請老師提供意見。謝謝。

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