Category Archives: 答讀者問

答王jiun──關於平面上的鏡射問題

網友王jiun留言: Dear 周老師,偶發機會,連上老師的網站,看到了好多矩陣的問題。原本是想查看看 Cayley-Hamilton 定理,因為高中數學解決矩陣高次方問題時,利用 Cayley-Hamilton 定理創造出一個特徵方程式,再除以此特徵方程式,將高次方變成處理餘式即可。這方法真妙……於是上網搜尋關鍵字,因緣際會連上老師的網站,真是福氣,學習好多好多東西 (原因還是很多看不懂)。 近期高中(四)3-4上課到鏡射矩陣,學習到一些好方法。因此利用直線的斜率創造出旋轉矩陣解決了對稱點的問題,但是偏偏課本舉例的對稱直線都是通過原點的。但是我發現若對稱直線沒有通過原點,那到底要怎麼解決呢?我原本想是不是先做點的平移,使直線通過原點,不過越想越頭痛,陷入思考盲點。以下是我從網路去找練習題目練習,都有給解答,但都沒有解釋。我怎麼都想不透?特請老師可否解救我,感恩。 問題一:設點 對於直線 的鏡射點為 ,請找出 與 的關係 (見圖一)。 解答: 問題二:如圖二,設直線 與 的夾角為 ,點 對於 的鏡射點為 ,點 對於 的鏡射點為 ,找出 與 的關係。(兩次鏡射等於一次旋轉) 解答: 問題三:設點 對於直線 (其中 ) 的鏡射點為 ,請找出 與 的關係。 解答: 第一題:那一直線斜率明明是 … Continue reading

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答Regan Yuan──關於主成分分析的奇異值分解算法

網友Regan Yuan留言: 老师您好,首先对您以往的支持和耐心详细的讲解,表示由衷的敬意和感谢!再次虚心请教老师一个问题,对于采用singular value decomposition的principal components analysis算法,最近总是有些搞不清,能否提供一个具体的例子呢?比如下面这个问题:五个学生 (5 cases or observations) 的跳高,跳远,乒乓球三门具有相关性的体育成绩 (3 variables or dimensions) 的 矩阵, , 用PCA进行降维度,具体解决方法如何?请明示,谢谢您!祝您开心每一天!

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答Eric──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣的逆矩陣

網友Eric留言: 您好,我剛初學到這個環節,看了此文後 (答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題),想請教兩個問題: 令 為向量空間, 和 為其上兩組基底,,則 不一定存在吧?是故縱 存在, 也不一定存在吧? 令 存在反函數 ,則矩陣表示法 及 的關係即是 ,我以為似乎不必大費周章討論那麼多?

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答Regan Yuan──關於向量範數的凸性

網友Regan Yuan留言: 老师您好,最近有些问题,还望您不吝赐教,谢谢。请问在凸优化的范畴中,范数 与范数 都是凸的(convex),这是如何证明的呢?我知道这个结论,我想学会证明的方法,了解证明的思路,请您明示。如果 是 与 的范数比值, 是否为convex呢?怎么证明或是判断呢?如果我们将这个关系再度引申,设 ,其中 , 是范数,如果 ,,就是上述的例子,现在 与 均是介于 ,如何证明或判断 在 取值于 时的凸性呢?最近正为凸优化的问题大伤脑筋,还望老师帮我。

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答cwj──關於奇異值分解背後的涵義

網友cwj留言: 周老師,您好!我是大陸的學生,幾乎每週都到您的“線代啟示錄”上光顧至少2次 (我是翻牆過來的,大陸這邊網路把控得很嚴)。您學問廣博,同時嚴謹而認真,真是我學習的榜樣!今天給您寫信是有一個問題要問您,我在看文獻時碰到這樣的一段描述: Given a matrix , decompose into , and by SVD, assuming is . Normalize each column of . Each column unit vector becomes the new representation of the corresponding ( is the th column of ). This … Continue reading

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答張盛東──關於三個半正定矩陣積的二次型為零的問題

網友張盛東留言: 老師,請教一個問題。已知 為實對稱半正定 (positive semidefinite) 矩陣,證明:對任意實向量 ,如果二次型 ,則 。這題我想很久都找不到思緒,希望老師指點一下。

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答matrix67──關於二相似矩陣的行空間與零空間的關係

網友matrix67留言: 老師您好,二相似矩陣有相同的列空間和零空間嗎?因為二相似矩陣是同一個線性變換 在不同基底下的表示矩陣,所以直觀上來想二相似矩陣的列空間應該都是 ,零空間都是 。但是事實似乎不是的,那麼如何理解這個問題呢?同時那一個矩陣的列空間與零空間和線性變換的 image 與 kernel 是相同的呢?

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答r2123b──關於矩陣與遞迴關係式的特徵多項式

網友r2123b留言: 老師:請問線代的特徵多項式 跟求解遞迴方程式 ,,的 時所用的特徵多項式有什麼關聯嗎?為什麼都叫特徵多項式?

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答matrices──關於矩陣二次方程的求解問題

網友matrices留言: 老師您好,當我們在解矩陣為係數的矩陣方程式時,譬如,,其中 、、 皆為矩陣且皆有反矩陣,是不是就整個卡住了?也就是說因為矩陣並非都具有交換律的關係,使得這個問題就在這個部分就此停住,還是說我仍然可以利用其他方法來求出 和 、 的關係?(我目前的想法是把 分成有交換律和沒有交換律兩者來討論。)

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答求知慾──關於分塊矩陣的冪矩陣

網友求知慾留言: 周老師您好:近期翻看線代啟示錄,關於分塊矩陣有些問題,請問是否能有方法將其作次方?若是普通矩陣可利用對角化作 次方,分塊矩陣則只翻閱到特殊矩陣的對角化,是否有其他分塊矩陣能夠利用對角化?或是有其他分法可以進行分塊矩陣的 次方?謝謝。

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