Category Archives: 仿射幾何

網友William留言： 老師，您好！我不是您的學生，但是又有一個問題苦無解決辦法，因此想向老師尋求協助。問題是這樣的：群組A內有 ，，五個點。其中 ，，， 為一矩形的四個端點，而 位於矩形的範圍內或邊線上。群組B內有 ，，五個點。現在假設存在一張對應表： 查表後的值為 ，，求 查表後的值 ，並以 ，，和 ，，表示。我不知道這個問題是否適合由線性代數解決，也不曉得應該從那裡下手。懇請老師提供意見。謝謝。

本文的閱讀等級：中級 凸優化 (convex optimization) 是最佳化理論的一個分支。顧名思義，凸優化探討定義於一個凸集的凸函數最小化問題[1]。令 為凸集且 為凸函數。我們的目標要找出一個點 ，使得每一 滿足 。在最佳化理論中， 稱為可行域 (feasible set)， 稱為目標函數， 稱為全域最佳解[2]。任一凸優化問題皆可表示為下列標準型： 其中 是凸函數， 是仿射函數，即 ，，。最小平方法與線性規劃是兩種常見的凸優化問題。令 為一個 階實矩陣， 為 維實向量， 為 維實向量。最小平方法是一個無約束 (unconstrained) 最佳化問題： 。 線性規劃標準型問題具有下列形式 (見“線性規劃 (一)：標準型問題”)： 本文介紹凸優化的一個重要性質：任一局部最佳解 (亦稱相對最佳解) 即為全域最佳解。所謂局部最佳解 是指存在 使得集合 中每一點 滿足 。

本文的閱讀等級：中級 在最佳化領域，多胞形 (polytope) 是一種應用廣泛的特殊凸集[1]。多胞形可以存在於任何有限維的幾何座標空間，多邊形是二維多胞形，多面體是三維多胞形， 的多胞形稱為 多胞形。淺白地說，多胞形的邊界都是平的。本文討論的多胞形限定為有界閉集，定義如下：若 是屬於 的有限向量集，凸包 稱為一多胞形。因為凸包是凸集，凸包定義的多胞形自然是一有界閉凸集 (見“凸組合、凸包與凸集”)。本文將介紹多胞形的幾何性質，並推導有界閉凸集的一個重要定理，它指引了一條解決線性規劃問題的捷徑。

本文的閱讀等級：初級 在最佳化與機器學習領域，譬如線性規劃、線性判別分析 (linear discriminant analysis)、Logit 模型 (logistic regression) 和多層類神經網路 (multilayer network)，超平面 (hyperplane) 是一個常見的模型元件。許多最佳化方法，如梯度下降法、Lagrange 乘數法和對偶理論，也都與超平面有關。本文從幾何與代數兩種觀點介紹超平面的基礎知識，並以凸集為例說明超平面於分割向量空間的應用 (見“凸組合、凸包與凸集”)。

本文的閱讀等級：初級 幾何座標空間 的一個向量 表示該向量端點的座標。點與座標向量具有一對一的對應關係，因為這個緣故，我們經常以座標向量代表點。本文介紹一種別於子空間與仿射空間 (子空間的平移) 的向量集。我們稱一個向量集 是凸集 (convex set)，若給定任兩點 和 ，點 屬於 。淺白地說，在凸集中，任兩個點皆可「看見」彼此，連接這兩點的直線段不含集合以外的點。見圖一的例子。比較特別的是， 所包含的子空間與仿射空間都是凸集。

本文的閱讀等級：初級 考慮 中三向量 。如果存在不全為零的組合權重 使得 ， 我們稱向量集 線性相關 (否則稱為線性獨立)，這時候其中一個向量可以表示為其他二向量的線性組合。若 的端點 (向量代表點座標) 位於同一直線上，則其中一向量為其他二向量的仿射組合 (見“仿射組合與仿射空間”)。設 ， 其中 。將上式改寫為 ， 可知 不僅線性相關，且組合權重之和等於零。這個結果引出下面的定義：對於 ，若存在不全為零的實數 使得 ， 並滿足 ，我們稱向量集 仿射相關 (affine dependent)，否則稱為仿射獨立 (affine independent)。以下討論限定於幾何向量空間 。

本文的閱讀等級：初級 考慮線性方程 ，所有可能的解稱為通解，具有下列形式： ， 其中特解 是指滿足 的任一解，齊次解 則滿足 。除非齊次解僅包含平凡解 ，否則特解和齊次解皆不唯一，故通解有無窮多種表達式。見下例： 的通解可以表示為 ， 上式中， 是任意實數，改變 數值即產生新的特解 ，齊次解則為 。幾何空間向量可用其端點表示，上例通解 (即所有特解構成的集合) 是 中一不穿越原點的直線，故不為子空間 (任一子空間必定包含原點)。另一方面，所有的齊次解都位於穿越原點的平行直線上，此即 的零空間 (見“Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係？”)。所以，通解與齊次解之間具有點對點的平移關係，而該平移量可以是任一滿足線性方程的特解 。通解、特解和齊次解之間的關係常令學者感到困惑，本文介紹兩個新概念──仿射組合與仿射空間，希望藉此得以釐清特解和齊次解的幾何意義。