Category Archives: 特殊矩陣

特殊矩陣 (22):對合矩陣

本文的閱讀等級:中級 對合函數 (involution) 是逆函數等於自身的函數,也就是說,對合函數 的定義域中所有 滿足 。令 為一個定義於 或 的 階矩陣。若 ,即 ,則 稱為對合 (involutory) 矩陣。換句話說,對合矩陣是單位矩陣的所有平方根。常見的對合矩陣包括: 單位矩陣 和 反對角 (anti-diagonal) 排列矩陣 列交換矩陣,例如, 簽名 (signature ) 矩陣 Householder 矩陣 ,其中 (見“特殊矩陣 (4):Householder 矩陣”)。直接計算可驗證 下面我們介紹對合矩陣的構造法以及性質。 Advertisements

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特殊矩陣 (21):非負矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階實矩陣。若每一 ,我們稱 是正矩陣 (positive matrix),記為 。若每一 ,則 稱為非負矩陣 (nonnegative matrix),記為 。推廣至更一般的情況, 表示每一 , 表示每一 。因為 維實向量可視為 階實矩陣,故同樣有正向量和非負向量的概念。相反關係 和 也按類似方式定義。令 是 的所有相異特徵值所形成的集合,稱為矩陣譜 (spectrum),並令 是 的最大絕對特徵值,稱為譜半徑 (spectral radius),即 。若 是一個 階正矩陣,Perron 定理包含下列特徵值和特徵向量性質 (見“特殊矩陣 (18):正矩陣”): 譜半徑 是 的一個特徵值,稱為 Perron 根。 … Continue reading

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特殊矩陣 (20):可約矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階矩陣。如果存在一排列矩陣 (permutation matrix) 使得 , 其中 是 階,, 是 階,我們稱 為可約矩陣 (reducible matrix),否則稱之為不可約矩陣 (irreducible matrix)。排列矩陣滿足 ,可知 相似於 。因為 以相同方式交換 的行與列, 也稱為 的一個對稱排列 (symmetric permutation)。設想 的 元代表變數 與變數 的關聯性,對稱排列 的作用即在重新命名變數 (見“矩陣視覺化”)。可約矩陣的名稱由來係因其對稱排列具有分塊上三角形式,使得線性方程的求解工作變得較為簡單。若 和 以分塊表示為 和 ,則 可化約為兩個較小型的子系統: 當線性方程是一致時,採用反向代回法,先從 解出 … Continue reading

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特殊矩陣 (19):Hessenberg 矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階矩陣。若 , ,則 稱為上 Hessenberg 矩陣,也就是說, 的主對角下標元 (subdiagonal,即 ) 之下的所有元為零。若 的主對角上標元 (superdiagonal,即 ) 之上的所有元為零,則稱為下 Hessenberg 矩陣。此特殊矩陣因德國工程師黑森貝格 (Karl Adolf Hessenberg) 而得名。見下例, 是上 Hessenberg 矩陣, 是下 Hessenberg 矩陣, 同時是上、下 Hessenberg 矩陣,稱為三對角 (tridiagonal) 矩陣 (見“特殊矩陣 (11):三對角矩陣”): 。 明顯地,對稱 Hessenberg 矩陣必定是三對角矩陣。下 … Continue reading

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特殊矩陣 (18):正矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階實矩陣。若每一 ,我們稱 是正矩陣 (positive matrix),記為 。(注意,在其他文章我用 表示 是正定矩陣。) 若每一 ,則 稱為非負矩陣 (nonnegative matrix),記為 。推廣至更一般的情況, 代表每一 , 代表每一 。因為 維實向量可視為 階矩陣,故同樣有正向量和非負向量的概念。相反關係 和 也按類似方式定義。正矩陣和非負矩陣出現於許多應用問題中,例如,馬可夫過程 (見“馬可夫過程”) 和圖論模型的鄰接矩陣 (見“Google 搜尋引擎使用的矩陣運算”,“線性代數在圖論的應用 (一):鄰接矩陣”)。本文介紹 階正矩陣的特徵值和特徵向量性質,這些結果統稱為 Perron 定理[1]。

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特殊矩陣 (17):組合矩陣

本文的閱讀等級:初級 組合矩陣 (combinatorial matrix)[1] 是具有下列形式的 階矩陣: , 也就是說,,其中 是 Kronecker 函數: 若 , 若 。令 代表所有元皆為 的 階矩陣,組合矩陣亦可表示成 。以下設 為實數,本文討論組合矩陣 的行列式、逆矩陣,以及特徵值和特徵向量。

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特殊矩陣 (16):排列矩陣

本文的閱讀等級:中級 一 階矩陣 稱為排列矩陣 (或稱置換矩陣,permutation matrix),若 的每一行和每一列恰有一個元為 ,其餘元為 ,例如: , 明顯地, 也是一排列矩陣。設 ,,則 , 。 左乘排列矩陣和右乘排列矩陣有不同的效果: 將 的列按 2, 4, 1, 3 排序, 則將 的行按 3, 1, 4, 2 排序。寫出 ,配合轉置運算,右乘排列矩陣 可表示為左乘排列矩陣 ,以下限定排列矩陣總是以左乘方式執行。既然每一 階排列矩陣 代表 個元素的一種特別排列,可知冪矩陣 表示連續執行 次排列,所以 也是一排列矩陣。考慮這個問題:試求一 階排列矩陣 … Continue reading

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特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (下)

本文的閱讀等級:中級 我們將前文“特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (上)”的主要結果整理於下。首先定義一 階創造矩陣 :若 ,,否則 。創造矩陣 衍生出矩陣指數,如下: , 其中 是實數。因為 是冪零矩陣,即對於 ,,故 可表示為 的 次多項式: 。 代入 ,可得 ;代入 ,可得 。展開上式等號右邊即推得 的 元:若 , ,否則 。提醒讀者,我們定義 若 , 若 。令帕斯卡矩陣為 (亦即若 ,,否則 ),所以對於任意實數 ,,並有以下必然結果: 。 當 ,即得 … Continue reading

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特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (上)

本文的閱讀等級:中級 二項式定理 (binomial theorem) 由牛頓於公元1664-65年間提出,此定理給出 的整數次冪展開公式: , 其中 為 取 的組合數目,稱為二項式係數,它遵守帕斯卡(Pascal)法則: 。 證明如下。令 表示 個元素構成的集合,設 ,由 中選取 個元素可分開兩種情況討論:若不取 ,則必須從 選取 個元素,組合數為 ;若選取 ,則還要從 取其餘 個元素,組合數為 。帕斯卡法則的代數證明請見“二項式係數公式”。

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特殊矩陣 (14):Gramian 矩陣

本文的閱讀等級:中級 設 為一個 階實矩陣, 階方陣 稱為 Gramian 或 Gram 矩陣,也有人稱之為交互乘積 (cross-product) 矩陣。考慮 的行向量表達式 ,,則 , 這指出 。推廣至一般情況,設向量集 屬於內積空間 , 階 Gramian 矩陣 的 元定義為 和 的內積,以 表示 (見“內積的定義”)。

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