Category Archives: 證明細解

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階矩陣。若存在同階矩陣 使得 ，則 稱為可逆 (invertible) 矩陣。若 有 個線性獨立的行 (column) 與列 (row)，即滿秩，記作 ，則 稱為非奇異 (nonsingular) 或非退化 (nondegenerate) 矩陣。可逆矩陣與非奇異矩陣是同義的。我們要證明可逆矩陣的一個充要條件：可逆矩陣不具備「毀滅性」的矩陣乘法，詳述於下列定理。   定理. 令 為一個 階矩陣。每一個 階非零矩陣 使得 若且惟若 是一個可逆矩陣。

本文的閱讀等級：中級 英國數學家哈代 (G. H. Hardy) 說[1]：「歐幾里得喜好的歸謬法 (reductio ad absurdum) 是數學家最精良的武器之一。它比起棋手所用的任何戰術還要好：棋手可能需要犧牲一個卒子或其他棋子，但數學家提供整個遊戲。」歸謬法是一種間接論證方式，先假設某個命題不成立，然後推理出矛盾、不符合已知的事實或荒謬的結果，從而論斷該命題成立。在命題易於作否定陳述，假設條件僅提供少量訊息，或缺乏明確的直接證明思路時，歸謬法便可派上用場。反證法 (proof by contradiction) 是狹義的歸謬法，兩者的差別在於反證法只限於推理出邏輯上矛盾的結果。因此，反證法經常應用於證明數學定理。具體地說，我們要證明一個陳述「若 則 」，記為 ，其中 是條件， 是命題，也就是說， 是 的一個充分條件， 是 的一個必要條件。反證法假定 與 (非 ) 同時成立，然後設法推論出 。但 是某個已知的事實或條件，這樣就得到一個矛盾 。在反證法中， 可以是 ，，或其他已知的事實或條件。如果 ，反證法要證明 ，即 。如果 ，反證法要證明 。

本文的閱讀等級：初級 不論是線性代數或其他數學科目，形式向來凌駕實質內容，學習教材無一不是經過刻意選取裁剪，原因是教學使命在於有效地傳遞知識，而不是訓練如何處理不定情況。然而，證明或反駁命題卻需要多元靈活的思索過程，判斷命題真偽不僅要重組因果邏輯，還必須聯想相關的基本概念，難怪常常我們看得懂書本內容，但就是不曉得如何證明或反駁。看下面這個命題 (取自台大數研所 2011 年碩士班入學試題)： 令 和 為 階實矩陣且 ，則 和 至少有一不為可逆矩陣。 請分別就 和 二種情況，證明或反駁此命題。