Category Archives: 證明細解

證明細解 2

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若存在同階矩陣 使得 ,則 稱為可逆 (invertible) 矩陣。若 有 個線性獨立的行 (column) 與列 (row),即滿秩,記作 ,則 稱為非奇異 (nonsingular) 或非退化 (nondegenerate) 矩陣。可逆矩陣與非奇異矩陣是同義的。我們要證明可逆矩陣的一個充要條件:可逆矩陣不具備「毀滅性」的矩陣乘法,詳述於下列定理。   定理. 令 為一個 階矩陣。每一個 階非零矩陣 使得 若且惟若 是一個可逆矩陣。 Advertisements

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證明細解 1

本文的閱讀等級:初級 表面上,數學證明是演繹法的舞台,但本質上,數學證明是一門具有歸納性質的實驗科學活動。面對數學證明問題,我們不僅希望了解各種可能的證明方法,還試圖理解這些證法背後的動機與思維。美國數學家波利亞 (George Polya) 在其名著《怎樣解題》(How to Solve It) 主張數學解題 (包括證明) 過程可分為下列四個階段。 了解問題:要知道未知數是什麼?已知數是什麼?條件是什麼? 擬定計畫:找出已知數與未知數之間的關係。如果這個關係不是很明確,可以嘗試考慮類似的問題。最後,我們應該能想出解題的計畫。 執行計畫:將解題計畫付諸實現,仔細檢查每一個步驟。 驗算與回顧:驗算所得的解答,檢驗每一個論證步驟是否正確。 我們按照波利亞的指點練習如何通過有效的提問激發想法,從而構思出證明計畫,跨越障礙直達問題的核心。從實踐面來看,最為困難的證明階段在於擬定計畫。我想到的一個應對方法是細解一些線性代數定理的精彩證明,以探索法 (heuristic) 對論證推理的每一個步驟作徹底的研究。   定理. 令 與 為 階矩陣。若 ,則 。

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反證法與逆否命題法

本文的閱讀等級:中級 英國數學家哈代 (G. H. Hardy) 說[1]:「歐幾里得喜好的歸謬法是數學家最精良的武器之一。它比起棋手所用的任何戰術還要好:棋手可能需要犧牲一個卒子或其他棋子,但數學家提供整個遊戲。」歸謬法 (reductio ad absurdum) 是一種間接論證方式,先假設某個命題不成立,然後推理出矛盾、不符合已知的事實或荒謬的結果,從而論斷該命題成立。在命題易於作否定陳述,假設條件僅提供少量訊息,或缺乏明確的直接證明思路時,歸謬法便可派上用場。反證法 (proof by contradiction) 是狹義的歸謬法,兩者的差別在於反證法只限於推理出邏輯上矛盾的結果。因此,反證法經常應用於證明數學定理。具體地說,我們要證明一個陳述「若 則 」,記為 ,其中 是條件, 是命題,也就是說, 是 的一個充分條件, 是 的一個必要條件。反證法假定 與 (非 ) 同時成立,然後設法推論出 。但 是某個已知的事實或條件,這樣就得到一個矛盾 。在反證法中, 可以是 ,,或其他已知的事實或條件。如果 ,反證法要證明 ,即 。如果 ,反證法要證明 。

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證明或反駁

本文的閱讀等級:初級 不論是線性代數或其他數學科目,形式向來凌駕實質內容,學習教材無一不是經過刻意選取裁剪,原因是教學使命在於有效地傳遞知識,而不是訓練如何處理不定情況。然而,證明或反駁命題卻需要多元靈活的思索過程,判斷命題真偽不僅要重組因果邏輯,還必須聯想相關的基本概念,難怪常常我們看得懂書本內容,但就是不曉得如何證明或反駁。看下面這個命題 (取自台大數研所 2011 年碩士班入學試題): 令 和 為 階實矩陣且 ,則 和 至少有一不為可逆矩陣。 請分別就 和 二種情況,證明或反駁此命題。

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