Category Archives: 典型形式

Jordan-Chevalley 分解

本文的閱讀等級:高級 對於一 階複矩陣 ,Jordan-Chevalley 分解[1]是指存在唯一的可對角化矩陣 與冪零 (nilpotent) 矩陣 使得 且 (稱為可交換)。對於複矩陣,Jordan-Chevalley 分解很容易以 Jordan 典型形式表達 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)。我們利用 Jordan 形式證明 Jordan-Chevalley 分解的存在性與唯一性。 Advertisements

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常係數線性遞迴關係式 (中)

本文的閱讀等級:中級 前文介紹了常係數線性齊次遞迴關係式在特徵多項式有相異根的情況下的兩個線性代數解法 (見“常係數線性遞迴關係式 (上)”)。第一個方法建立於數列形成的無限維向量空間,通過與齊次遞迴關係式的特徵多項式同形式之算子多項式的零空間找出解。然而,當特徵多項式存在重根時,零空間基底的推導過程相當繁複。本文使用第二個方法,以簡潔的矩陣分析解出當特徵多項式存在重根時齊次遞迴關係式的通項表達式。

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AB 相似於 BA 的充要條件

本文的閱讀等級:中級 令 和 為 階矩陣。矩陣乘積 和 有相同的特徵值 (包含相重特徵值),但並不總是相似。例如, 且 ,則 和 的特徵多項式同為 。觀察出 不可對角化而 可對角化,表明 和 不具相似性。本文介紹 相似於 的一個充分與必要條件:,,並討論幾個相似性的判定方式 (充分條件)。

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冪矩陣的特徵值與特徵向量

本文的閱讀等級:中級 令 為 階矩陣, 為特徵值 (包含相重特徵值), 為對應的特徵向量。如果已知 的所有特徵值和對應的特徵向量,我們能否找出冪矩陣 ,,的所有特徵值和對應的特徵向量?使用 ,計算可得 故知 有特徵值 ,對應的特徵向量是 。這個結果是否表示我們已經找齊了 的特徵值與對應的特徵向量?看下面的例子: 的特徵值為 和 ,對應的特徵向量分別為 和 。然而, 的特徵值為 和 ,對應的特徵向量分別為 , 和 。冪矩陣 的特徵值確實是 ,但對應的特徵向量除了包含 的特徵向量外,還多一個線性獨立的特徵向量 。換一個說法, 不可對角化 (因為不存在 個線性獨立的特徵向量), 卻可對角化。為甚麼會有這樣奇怪的現象?下面我們就來探討冪矩陣的最大線性獨立的特徵向量數增多的原因。

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矩陣相似於其共軛轉置的充要條件

本文的閱讀等級:中級 任一 階複矩陣 相似於其轉置矩陣 (見“矩陣與其轉置的相似性”),但 未必相似於其共軛轉置 (即 ),原因在於它們的特徵值可能相異。例如, 有特徵值 和 , 是虛數單位,但 的特徵值為 和 。矩陣與其共軛轉置是否相似完全由 Jordan 典型形式決定,本篇短文將討論這個主題。

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二對稱矩陣分解

本文的閱讀等級:中級 因為近代線性代數教科書隻字不提,多數人可能從未聽聞過這個定理:任一實方陣 可分解為兩個實對稱矩陣的乘積 ,其中 是可逆矩陣;類似地,任一複方陣 可分解為兩個複對稱矩陣的乘積 ,其中 是可逆矩陣[1]。對稱矩陣 滿足 ,Hermitian 矩陣 滿足 。對於實矩陣,對稱矩陣等同於 Hermitian 矩陣;對於複矩陣,對稱矩陣不同於 Hermitian 矩陣。方陣的二對稱矩陣分解看似玄妙,但課本都不講述的定理能有甚麼用途呢?莊子曰:「人皆知有用之用,而莫知無用之用也。」按莊子的看法,「有用之用」與「無用之用」的區別在於個人的主觀認知。本文介紹二對稱矩陣分解的動機純粹是為了演練矩陣分析技巧,下面分別就複矩陣和實矩陣說明採行 Jordan 典型形式的建構式證法。至於這個矩陣分解式到底有用抑或無用,暫且不必急著下定論。

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矩陣相似於其逆的充要條件

本文的閱讀等級:高級 任一 階矩陣 相似於 (見“矩陣與其轉置的相似性”)。若 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),,則 相似於 。我們不免好奇: 相似於 的充分以及必要條件是甚麼?考慮極端的情況:兩個相等的方陣必定相似。若 ,即 ,我們稱之為對合 (involutory) 矩陣 (見“特殊矩陣 (22):對合矩陣”)。除了對合矩陣,是否還有其他的 相似於 ?二人同心,其利斷金。若 ,其中 和 是對合矩陣,則 , 即知 相似於 。兩個對合矩陣的乘積不僅是矩陣相似於其逆的充分條件,也是必要條件。反向論證較為複雜,本文運用兩種特殊型態矩陣──Jordan 分塊和相伴 (companion) 矩陣──證明:若 相似於 ,則存在對合矩陣 和 使得 。

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Jordan 分塊

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,所謂「相似家族」是指其中成員矩陣彼此具有相似關係。具體地說,若 和 同屬一個「相似家族」,即 相似於 ,則存在一可逆矩陣 使得 。相似是一種等價關係,相似變換下的不變性質包括:特徵多項式、最小多項式、特徵值、行列式、跡數、矩陣秩,以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。Jordan 形式因創造人法國數學家約當 (Camille Jordan) 而得名。Jordan 分塊為一上三角矩陣,其中主對角元是相同常數,設為 ,主對角上標元 (superdiagonal) 都等於 ,其上的所有元為零,如下所示: 。 Jordan 矩陣是由 Jordan 分塊構成的分塊對角矩陣,或者說 Jordan 矩陣是 Jordan 分塊的直和 (direct sum),如下例: 。 Jordan 形式定理表明任一 階矩陣 必可表示為 Jordan 典型形式 (或稱 Jordan … Continue reading

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答matrices──關於矩陣二次方程的求解問題

網友matrices留言: 老師您好,當我們在解矩陣為係數的矩陣方程式時,譬如,,其中 、、 皆為矩陣且皆有反矩陣,是不是就整個卡住了?也就是說因為矩陣並非都具有交換律的關係,使得這個問題就在這個部分就此停住,還是說我仍然可以利用其他方法來求出 和 、 的關係?(我目前的想法是把 分成有交換律和沒有交換律兩者來討論。)

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最小多項式的計算方法

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階矩陣。若多項式 滿足 ,則 稱為 的一個消滅多項式。特徵多項式 是一般最常見的消滅多項式,此即 Cayley-Hamilton 定理 (見“Cayley-Hamilton 定理”)。最小多項式 是另一個特別的消滅多項式,它是 的所有消滅多項式中次數最小者。如果設定多項式的領先係數為 ,稱為首一多項式,則 有唯一的最小多項式。本文介紹三種最小多項式的計算方法:第一個方法來自定義;第二個方法計算 Jordan 形式的最大 Jordan 分塊階數;第三個方法基於循環子空間。為相互參照,我們用下例解說這三種方法的計算過程: 。

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