Category Archives: 行列式

不說廢話──克拉瑪公式的證明

本文的閱讀等級:初級 You know that I write slowly. This is chiefly because I am never satisfied until I have said as much as possible in a few words, and writing briefly takes far more time than writing at length. ― Carl Friedrich … Continue reading

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利用 Bareiss 算法判別正定矩陣

本文的閱讀等級:中級 若 為一 階實對稱矩陣且任一 維非零實向量 滿足 ,則 稱為正定矩陣 (見“特殊矩陣 (6):正定矩陣”)。如果 為一 Hermitian 複矩陣,將上述實向量改成複向量,轉置 替換為共軛轉置 即可。正定矩陣有多種判別方式,當下列任一條件成立時, 是正定矩陣 (見“正定矩陣的性質與判別方法”): 的特徵值皆為正數; 的軸元 (pivot) 皆為正數; 的領先主子陣 (leading principal submatrix) 的行列式皆為正數; 可分解為 ,其中 是一可逆矩陣。 本文介紹一個基於領先主子陣的行列式的正定矩陣判別法,稱為 Bareiss 算法[1]。在開始討論前,我們先說明本文所使用的子陣表達記號。令 代表 階矩陣 的一個 階子陣,其中 是列 (row) 指標集合, 是行 … Continue reading

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阿達馬的最大行列式問題

本文的閱讀等級:中級 公元1893年,法國數學家阿達馬 (Jacques Hadamard) 提出下面的最大行列式問題:若 為一 階矩陣且 ,, 的最大值是多少?表面上,要找到解決這個約束最大化問題的切入點似乎相當困難。阿達馬想出了一個簡單的辦法:他先推導行列式 (絕對值) 的上界,接著求出滿足此上界的矩陣所具備的條件,最後設法尋找擁有該條件的矩陣。出乎意料的是,複矩陣問題比實矩陣問題容易解決得多。下面我們追隨阿達馬的腳步探索約束矩陣的最大行列式問題。

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答張盛東──關於外積與行列式的關係

網友張盛東留言: 老師,請教一下外積 (cross product) 與行列式的關系為何?為何兩個向量的外積與這兩個向量垂直并且可以通過行列式表達?我只記得外積的定義式但從未真正理解其本質,請老師指教。   答曰: 定義能夠彰顯本質嗎?我們所認知的世界只是形形象象的現象世界,而非哲學家指稱的本來世界。不論認識天文地理抑或理解概念名詞,我們必須有一個角度。從不同的角度出發,看到的是不同的現象世界。如果存在本來世界,那麼與之相比,現象世界不過是假象。反之,如果不存在本來世界,那麼每一個現象世界應當都是真實的,也都有存在的權利。我們採用的定義隨著選擇的角度改變,故而看到現象世界的不同面向。傳統上,我們從幾何直觀來定義外積 (cross product,或稱向量積),維基百科說[1]:兩個三維向量 和 的外積定義為 , 其中 表示 和 之間的角度 (),且 是與 和 所在平面垂直並滿足右手定則的單位向量 (見維基百科圖示)。表面上,這個公認的外積定義與行列式無關,因此我們可能以為兩者之間的關係只是一種偶然。為了釐清外積與行列式的關係,下面我選用一個不尋常的角度──直接以行列式來定義外積。

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行列式公式的推導

本文的閱讀等級:中級 一個 階矩陣 的行列式存在多種不同的定義方式,目前最被廣泛採用的定義當屬萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 公式[1]: , 其中 是數組 的排列 (permutation,或稱置換),總共有 種可能。函數 是排列 的符號差 (sign) 或稱簽名 (signature)。任何一個排列 可以分解成換位 (transposition) 的複合運算,例如, 的換位分解是 ,排列 至自然排序 的換位過程如下 (見“特殊矩陣 (16):排列矩陣”): 我們定義 若 包含偶數個換位, 若 包含奇數個換位。本文從行列式的幾何定義出發,解說如何從三個設定的性質推導出萊布尼茲行列式公式 (二階行列式公式的推導請見“行列式的運算公式與性質”)。

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分塊矩陣的行列式

本文的閱讀等級:初級 我們知道二階行列式的計算公式為 , 那麼 階分塊矩陣的行列式 是否也有相同的公式?在一般情況下,相應的分塊矩陣的行列式公式並不存在,但如果 或 滿足某些特定條件,則有簡明的計算公式。回顧行列式的標準公式──排列公式 (或稱萊布尼茲公式,見“行列式的運算公式與性質”):若 為一個 階矩陣, , 其中 表示自然排序 的排列 (permutation), 若 經過偶數次換位 (transposition,即交換兩元位置) 可得自然排序, 若 經過奇數次換位可得自然排序。例如,若 ,換位過程如下: 從 經過三次換位得到自然排序,可知 。本文介紹一些常見的分塊矩陣的行列式公式,並使用排列公式、行列式基本性質,以及分塊矩陣乘法運算推導證明。

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答pentiumevo──關於非零行列式存在一非零餘子式的證明

網友pentiumevo留言: 周老師您好,我想問一個與行列式有關的問題:如果已知 階行列式 ,那麼是否可以確定行列式 必有一個不為零的 階子式 呢?我的想法是,如果行列式 的所有 階子式都是零,那麼由行列式的展開定義 (對第一列展開): 得到 (這裡 是行列式中元素 所對應的餘子式),然而這與前提的 相違,所以行列式 必至少有一個非零的 階子式。請問這樣證明對嗎?有沒有更直觀的想法呢?是否可以由 維向量的線性獨立性出發來論證這問題呢?謝謝老師。

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利用模算術判定可逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 給定 , 若不實際計算矩陣秩或行列式,從矩陣型態如何判定 是可逆矩陣?如果我們能證明 ,即知 是可逆矩陣。對於 階矩陣 ,回想行列式的運算公式 (見“行列式的運算公式與性質”) , 其中 代表對應列置換 的排列矩陣。觀察發現上例 的主對角元都是奇數,非主隊角元都是偶數。根據行列式的運算公式, 僅有一項 是奇數,其餘各項皆為偶數,推論 是奇數,故必不為零,即證明 是可逆矩陣。一整數 是偶數或奇數取決於 除以 的餘數是 或 ,這種表述方式可以加以推廣為模算術 (modular arithmetic)。本文介紹模算術的基礎知識,並解說如何利用模算術來判定可逆矩陣。

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答vbigmouse chen──關於Wronskian於判斷線性獨立函數的應用

網友vbigmouse chen留言: 周老師好,我是幾年前修您計結的學生,前幾天在使用Wronskian判斷函數相關性的時候,發現了一些問題想請教 (以下問題源自“利用行列式判斷線性獨立函數”): Q1. 為什麼是不可微分呢? 根據微分的定義 ,在 時則 ,當 時,左微分=右微分=,那為什麼老師說不可微分呢? Q2. 對於所有可微分(解析)函數來說,Wronskian= 為什麼無法推得線性相關?舉例來說, 根據LD (linear dependence) 的定義 : 若 存在 不全為 ,使得等式成立,則稱 線性相關。對等式微分一次,若 可微分,則得到 。 將兩條等式寫成矩陣形式 ,若 為奇異則存在非零 使 成立 符合LD之定義,但實際上卻不能這樣推論,這中間有那裡出現問題了呢? Q3. 針對Q2來說,一般會舉出反例如 ,,在正負無限間明顯兩者為LID (linear independence)。若說 不可微分,則無法套用Wronskian,也就是是否LD和Wronskian無關(或說Wronskian無法計算)。 但如Q1所述,如果微分定義成立,則 至少可以微分兩次,足以計算一個2階的Wronskian了,經過計算 … Continue reading

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行列式之一元滅絕法

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。將 的 元 以 取代,其餘元維持不變,稱新矩陣為 。那麼對於每一可逆矩陣 ,是否總是存在一元 使得 不可逆,即 ?明顯地,當 ,只要用 取代 的唯一元即可。當 ,令 且 。若 不含零元,適當地改變 的任何一個元都可消滅行列式,譬如,。若 包含零元,設 ,則 ,將 或 改成 ,如此製造一零列或零行即可達到目的 (但不論改變 ,仍然有 )。下面我們使用行列式運算公式和矩陣行 (列) 空間分析來推導 階行列式的「一元滅絕法」。

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