Category Archives: 行列式

本文的閱讀等級：初級 You know that I write slowly. This is chiefly because I am never satisfied until I have said as much as possible in a few words, and writing briefly takes far more time than writing at length. ― Carl Friedrich … Continue reading →

網友張盛東留言： 老師，請教一下外積 (cross product) 與行列式的關系為何？為何兩個向量的外積與這兩個向量垂直并且可以通過行列式表達？我只記得外積的定義式但從未真正理解其本質，請老師指教。   答曰： 定義能夠彰顯本質嗎？我們所認知的世界只是形形象象的現象世界，而非哲學家指稱的本來世界。不論認識天文地理抑或理解概念名詞，我們必須有一個角度。從不同的角度出發，看到的是不同的現象世界。如果存在本來世界，那麼與之相比，現象世界不過是假象。反之，如果不存在本來世界，那麼每一個現象世界應當都是真實的，也都有存在的權利。我們採用的定義隨著選擇的角度改變，故而看到現象世界的不同面向。傳統上，我們從幾何直觀來定義外積 (cross product，或稱向量積)，維基百科說[1]：兩個三維向量 和 的外積定義為 ， 其中 表示 和 之間的角度 ()，且 是與 和 所在平面垂直並滿足右手定則的單位向量 (見維基百科圖示)。表面上，這個公認的外積定義與行列式無關，因此我們可能以為兩者之間的關係只是一種偶然。為了釐清外積與行列式的關係，下面我選用一個不尋常的角度──直接以行列式來定義外積。

本文的閱讀等級：中級 一個 階矩陣 的行列式存在多種不同的定義方式，目前最被廣泛採用的定義當屬萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 公式[1]： ， 其中 是數組 的排列 (permutation，或稱置換)，總共有 種可能。函數 是排列 的符號差 (sign) 或稱簽名 (signature)。任何一個排列 可以分解成換位 (transposition) 的複合運算，例如， 的換位分解是 ，排列 至自然排序 的換位過程如下 (見“特殊矩陣 (16)：排列矩陣”)： 我們定義 若 包含偶數個換位， 若 包含奇數個換位。本文從行列式的幾何定義出發，解說如何從三個設定的性質推導出萊布尼茲行列式公式 (二階行列式公式的推導請見“行列式的運算公式與性質”)。

網友pentiumevo留言： 周老師您好，我想問一個與行列式有關的問題：如果已知 階行列式 ，那麼是否可以確定行列式 必有一個不為零的 階子式 呢？我的想法是，如果行列式 的所有 階子式都是零，那麼由行列式的展開定義 (對第一列展開)： 得到 (這裡 是行列式中元素 所對應的餘子式)，然而這與前提的 相違，所以行列式 必至少有一個非零的 階子式。請問這樣證明對嗎？有沒有更直觀的想法呢？是否可以由 維向量的線性獨立性出發來論證這問題呢？謝謝老師。

本文的閱讀等級：初級 給定 ， 若不實際計算矩陣秩或行列式，從矩陣型態如何判定 是可逆矩陣？如果我們能證明 ，即知 是可逆矩陣。對於 階矩陣 ，回想行列式的運算公式 (見“行列式的運算公式與性質”) ， 其中 代表對應列置換 的排列矩陣。觀察發現上例 的主對角元都是奇數，非主隊角元都是偶數。根據行列式的運算公式， 僅有一項 是奇數，其餘各項皆為偶數，推論 是奇數，故必不為零，即證明 是可逆矩陣。一整數 是偶數或奇數取決於 除以 的餘數是 或 ，這種表述方式可以加以推廣為模算術 (modular arithmetic)。本文介紹模算術的基礎知識，並解說如何利用模算術來判定可逆矩陣。

本文的閱讀等級：初級 令 為一 階實矩陣。將 的 元 以 取代，其餘元維持不變，稱新矩陣為 。那麼對於每一可逆矩陣 ，是否總是存在一元 使得 不可逆，即 ？明顯地，當 ，只要用 取代 的唯一元即可。當 ，令 且 。若 不含零元，適當地改變 的任何一個元都可消滅行列式，譬如，。若 包含零元，設 ，則 ，將 或 改成 ，如此製造一零列或零行即可達到目的 (但不論改變 ，仍然有 )。下面我們使用行列式運算公式和矩陣行 (列) 空間分析來推導 階行列式的「一元滅絕法」。