Category Archives: 行列式

行列式的列行取代運算

本文的閱讀等級:初級 看下面這個問題:已知13282,28565,57971,68382,和94279被29整除。令 。 在不實際算出行列式的前提下,證明 也被29整除。 Advertisements

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答鄧勇──關於λ-矩陣的伴隨矩陣關係式

網友鄧勇留言: 老师:您好!如何证明λ-矩阵和其伴随矩阵的关系式 呢?我百思不得其解,是否这个关系式根本就不成立?我已经看了“伴随矩阵”,内容都懂。我疑惑的是您在“Cayley-Hamilton 定理的一个代数证明方法”一文中,设 后,矩阵 则不是数字矩阵了,那么后面证明中要用到的主要关系式 对非数字矩阵依然成立吗?如果不成立,那么后面就得不到定理证明;如果主要关系式是正确的,又应该如何证明呢?显然它的证明与数字矩阵的证明是不一样的,对于它的证明,我试了很多方法,仍然证不出来,烦请老师给指点迷津。谢谢!

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三階逆矩陣公式

本文的閱讀等級:初級 給定 階矩陣 ,若存在一個同階矩陣 使得 ( 表示 階單位矩陣),則 稱為可逆 (invertible) 或非奇異 (nonsingular) 矩陣。在這個情況下, 由 唯一決定[1],稱為 的逆矩陣或反矩陣,記作 。可逆矩陣 的一個充要條件為 。若 階 是可逆的,則 ,逆矩陣公式如下: 。 你可能好奇 階可逆矩陣的逆矩陣公式是甚麼樣子?底下介紹三個逆矩陣算法: 高斯─約當法 (Gauss-Jordan method), 伴隨矩陣 (adjugate) 衍生的行列式表達式, Cayley-Hamilton 定理導出的矩陣多項式。 我們先用這些方法推導 階逆矩陣公式,隨後再推廣至 階矩陣。

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伴隨矩陣

本文的閱讀等級:初級 若 是可逆的,則 。行列式與逆矩陣顯然有密切的關係,事實上,從行列式計算公式──餘因子展開 (亦稱 Laplace 展開)──可導出一般 階矩陣 的逆矩陣公式 (見“三階逆矩陣公式”)。令 代表移除 的第 列 (row) 與第 行 (column) 之後得到的 階子陣。我們稱 為餘子式 (minor),並定義 的餘因子 (cofactor) 為 。 對於任一列指標 ,行列式的餘因子公式 (見“行列式的運算公式與性質”) 如下: , 將上式表示成兩個矩陣之積的主對角元: 。 請注意,等號左邊的第一個矩陣是 ,第二個矩陣是餘因子矩陣 的轉置,唯有如此安排才能使乘積 的所有主對角元等於 。為甚麼 的非主對角元全都是零?以 的第1列和 的第2行相乘為例,如何證明 … Continue reading

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Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式

本文的閱讀等級:初級 考慮下列 階 Vandermonde 矩陣 , 記為 或 ,其中 。Vandermonde 矩陣 有一個簡單的行列式公式,如下 (見“特殊矩陣 (8):Vandermonde 矩陣”): 。 當 互異時,, 是可逆矩陣。本文利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式推導 Vandermonde 矩陣 的逆矩陣。

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矩陣乘積行列式公式的代數證法

本文的閱讀等級:初級 令 和 為 階矩陣。矩陣乘積 的行列式定理,或稱「可乘公式」,如下所示: 。 過去我們曾經討論了三種證明方法:第一種方式最常見於教科書,將 表示成基本矩陣乘積,透過 得證,其中 是任意基本矩陣。第二種方式是基於分塊矩陣運算的簡明證法 (以上兩種證法請見“利用分塊矩陣證明 det(AB)=(det A)(det B)”)。第三種方式則建立於函數 之上 (見“行列式的運算公式與性質”)。本文再介紹一個直接計算矩陣乘積的代數證法,包含三個步驟:先乘開 ,再化簡,最後整理成行列式的乘積。從表面上看,直接計算矩陣乘積及其行列式似乎涉及一定程度的蠻力,至於是否果真如此,請讀者閱畢全文後再自行評斷。

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Hadamard 不等式

本文的閱讀等級:中級 匈牙利數理哲學家拉卡托斯 (Imre Lakatos, 1922-1974) 主張數學研習應以一種探索和發現的情境邏輯推展,稱為啟發法或助探論 (heuristic)。他強調非形式、準經驗的數學的發展並不是只靠逐步增加毋庸置疑的定理數目,而是靠以思辨與批評、證明與反駁之邏輯對最初猜想的持續不斷的改進 (見“線性代數的演繹主義”)。具體來說,啟發法常從簡單的特例展開,透過提出猜想,設立命題,證明或反駁,從而發現定理並建構理論。本文按照這個探索模式介紹矩陣理論中一個重要的不等式──Hadamard 不等式。

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超迷你克拉瑪公式的證明

本文的閱讀等級:初級 考慮線性方程 ,其中 階係數矩陣 可用行向量表示為 , 是 維常數向量,且 是 維未知向量。若 是可逆矩陣,克拉瑪公式給出以下方程解: , 其中 表示以向量 取代 的第 行 (即 ) 而得的 階矩陣: 。 克拉瑪公式有多種不同的證明方法,“克拉瑪公式的證明”使用了矩陣乘積的行列式可乘公式,“再談克拉瑪公式的證明”運用選擇消滅技巧化簡方程式,“克拉瑪公式的簡易幾何證明”則建立於行列式的幾何性質上。本文再介紹另一個非常簡潔的證明方法 (此法由網友 andy6829 提供)。

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Dodgson 縮合法──奇特的行列式運算法

本文的閱讀等級:中級 公元1865年英國數學家道奇森 (Charles Dodgson) 以筆名路易斯‧卡羅 (Lewis Carroll) 出版了影響深遠廣受世人喜愛的童話故事《愛麗絲夢遊仙境》(Alice’s Adventures in Wonderland)。當時流傳一則故事:維多利亞女王非常喜愛《愛麗絲夢遊仙境》,從而建議道奇森將下一本書獻給她。道奇森於是將隨後出版的數學著作《行列式初等論文》(An Elementary Treatise on Determinants) 呈給女王。不過,道奇森本人強烈否認這件事[1]。道奇森很可能是史上最出名的一位數學家,但他在數學方面的貢獻卻鮮為人知。1866年,道奇森發表了一個奇特的行列式運算法,名為縮合法 (condensation):給定一個 階矩陣,逐步產生 階, 階矩陣,直至得到一個 階矩陣,此最小矩陣的元即為原本給定矩陣的行列式。若拿縮合法與愛麗絲的奇幻旅程對比,縮合法不就是那瓶標示著「喝我」(DRINK ME),並讓愛麗絲像「單筒望遠鏡」那樣縮小的飲料嗎?

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線性變換把面積伸縮了

本文的閱讀等級:初級 考慮這個從 映射至 的線性變換 。 設圓區域 ,且 代表 中所有點經 映射後的集合,求 的面積 (取自成大電通所2007年電磁數學試題)。假使我們使用解析幾何方法計算 ,過程非但冗長,繁雜的數值運算也易出錯,不如轉而尋找其他方法。表面上看起來很困難的問題,也許有個簡單的解題方式。如果讀者瞭解此題的重點在於線性變換 的具體作為而非集合 的幾何形狀,那麼不用數秒便可得到答案。下文即以此例解說究竟線性變換如何改變映射集合的面積。

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