Category Archives: 特徵分析

Cayley-Hamilton 定理的一個錯誤「證明」

本文的閱讀等級:初級 在線性代數中,Cayley-Hamilton 定理可謂最令學者感到驚奇的定理之一:任一 階矩陣 的特徵多項式 消滅 ,即 , 是零矩陣。以 為例, 的特徵多項式為 Cayley-Hamilton 定理宣稱 。 Advertisements

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反對角矩陣的特徵值

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階反對角矩陣 (anti-diagonal matrix)。例如,若 , 。 如果不解出特徵多項式 的根,反對角矩陣是否有更快捷的特徵值算法?通過基底變換,我們可以設法使 的 個反主對角元「集中」於主對角線附近,精確地說, 相似於一個分塊對角矩陣。

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二階方陣的平方根

本文的閱讀等級:中級 設 是一個 階矩陣。若同階矩陣 使得 ,我們稱 為 的一個平方根。對角化是矩陣平方根的標準算法。若 可對角化為 ,其中 是一個可逆矩陣, 的主對角元 為 的特徵值。若 是 的一個平方根,,則 是 的一個平方根。若 有兩兩相異的非零特徵值,則存在 個平方根 。但如果 有相重特徵值或 ,取決於 的 Jordan 典型形式, 可能不存在平方根,存在少於 或無窮多個平方根。特別的, 階矩陣的平方根公式相當簡單,原因在於其逆矩陣、特徵值與特徵向量都有容易處理的代數式。

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可對角化的特殊矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階複矩陣,。若存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,其主對角元為 的特徵值,則 稱為可對角化 (diagonalizable), 稱為譜分解 (spectral decomposition,見“可對角化矩陣的譜分解”)。令 為 的相異特徵值組成的集合。下面列舉三個可對角化矩陣 的等價條件: 每一特徵值 的代數重數等於幾何重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”),即 (見“特徵值的代數重數與幾何重數”),這裡 表示矩陣 的零空間 (nullspace); 每一特徵值 的指標 (index) 等於 ,也就是說 的 Jordan 矩陣的每一個 Jordan 分塊的階數為 ,即純量 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”); 最小多項式為 ,也就是說 (見“最小多項式 (下)”)。

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AB 與 BA 的關係:特徵空間篇

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣, 為一個 階矩陣。即便 和 是同階方陣,矩陣乘法不滿足交換律,但 與 有一個重要的不變量──相同的非零特徵值 (見“AB 與 BA 有何關係?”,“分塊矩陣的解題案例──逆矩陣與矩陣乘積的特徵值”)。精確地說,若 為 的特徵值,代數重數為 ,則 也是 的特徵值,代數重數為 。自然地,我們會問: 與 的非零特徵值 的幾何重數 (特徵空間維數,見“特徵值的代數重數與幾何重數”) 是否相同?答案是肯定的。這篇短文證明 , 其中 表示方陣 的零空間 (nullspace)。

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利用舒爾引理證明可交換矩陣同時可三角化

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階兩兩可交換 (commuting) 矩陣集,也就是說任兩矩陣 和 滿足 。以下考慮 。可交換矩陣集 的所有矩陣同時可三角化,具體而言,存在一么正 (unitary) 矩陣 ,,使得 ,,為上三角矩陣 (見“同時可三角化矩陣”)。本文介紹一個利用舒爾引理 (Schur’s lemma) 的證明方法。

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特徵值的代數重數與幾何重數

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若存在一個非零向量 使得 ,我們稱 是 的一個特徵值, 是對應 的特徵向量。將上式寫為 ,可知 的零空間 (nullspace,也稱為對應 的特徵空間) 包含非零向量,故 是不可逆的,也就是說 。因此,我們定義 的特徵多項式為 ,特徵值 即為 的根。若 有 個相異特徵值 ,,特徵多項式可分解如下: , 其中特徵值 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。因為 次多項式 有 個根 (包含重根),。特徵空間 的維數,,稱為 的幾何重數 (geometric multiplicity),也就是對應 的最大線性獨立的特徵向量數。以上是多數線性代數教科書採用的定義,其實代數重數還有另一個較為罕見的定義方式:特徵值 的代數重數等於 … Continue reading

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常係數線性遞迴關係式 (上)

本文的閱讀等級:初級 一 階常係數線性遞迴關係式 (linear recurrence relation) 可表示如下: , 其中 是常數,, 稱為控制項。滿足上式的序列 稱為線性遞迴數列,由設定的初始值 唯一決定。考慮較簡單的情況,,我們稱之為齊次 (homogeneous) 遞迴關係式。例如,費布納西 (Fibonacci) 數列 的二階遞歸生成規則如下 (見“費布納西數列的表達式”): , 初始條件為 和 。通項 的代數表達式有兩種常見解法:母函數法 (見“遞迴關係式的母函數解法”) 與線性代數法。下面以費布納西數列為例說明兩個線性代數解法。

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譜分解的簡易證明

網友 Meiyue Shao: I would like to share with you an alternative proof of the statement on the post 可對角化矩陣的譜分解──續篇(上) The proof is quite similar to yours. But likely mine is relatively simple to follow. As you might want to … Continue reading

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可對角化矩陣的譜分解──續篇(下)

本文的閱讀等級:中級 我們曾經在“可對角化矩陣的譜分解──續篇(上)”證明譜定理 (spectrum theorem) 的反向命題:若 階矩陣 可表示為 , 其中 為相異數, 是非零矩陣並滿足 ,,以及 ,則 可對角化 (若未註明階數,以下 表示 階單位矩陣 )。本文介紹一個採用建構式的證明,我們的思路是從給定條件先推論 是冪等 (idempotent) 矩陣,從而導出 的對角化形式 ,其中 ,每一 ,表明 是 的特徵值, 是特徵向量矩陣。這個證明所使用的線性代數定理與分析方法包括分塊矩陣的保秩變換、秩─零度定理、可對角化矩陣的成立條件、秩分解 (rank decomposition),以及透過相似變換用跡數來計算秩。為便於閱讀,我將證明分成幾個步驟。(本文的證明由網友Meiyue Shao提供,原始文本請見“Spectral_decomposition”。)

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