Category Archives: 特徵分析

利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階矩陣, 為特徵值 (包含相重特徵值), 為對應的特徵向量,即有 ,。本文介紹如何利用 Vandermonde 矩陣證明對應相異特徵值的特徵向量組成一線性獨立集。(此證法源於網友 Meiyue Shao 對“相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明”的回應。)

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相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣, 為特徵值, 為對應的特徵向量。本文證明這個重要的定理:對應相異特徵值的特徵向量組成一個線性獨立集。(其他證法見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”,“每週問題 June 11, 2012”,“利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量”。) 例如, 有特徵值 ,對應特徵向量 ,以及特徵值 (代數重數為 ),對應特徵向量 和 (幾何重數為 )。根據上述性質, 和 都是線性獨立集。

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答林聖興──關於方程式的重根表達問題

網友林聖興留言: 周教授您好,在國中時期,解一元二次方程式例如 化簡為 。方程式有重根 與 ,如果僅寫一個 ,沒寫兩個 ,會被老師說答錯。在高中時期,遇到三次方程 化簡可得 ,知方程式有三重根 與 與 。高中生大概也會感覺無聊,可能心中有個疑惑,僅寫一個 ,難道不行嗎?遇到這種看似「哲學」的疑問,也不敢向老師問為什麼,想要拿分數,只好照規定作答,有能力答對,似乎沒有圓滿的解釋。   我高中畢業到現在將近三十年,這五年陸續看了一些周教授您的線代啟示錄,偶爾也回憶高中時期的想法,有一天,像是頓悟了!三階方陣的 eigenvalue,在解 eigen equation 的過程,若有重根,三個數字皆相同,不可僅寫一個,必需要有三個數字,而那三個數字是恰好相同的。這好像可以作為我們需要「重根」的理由,而高中國中學生還沒到開悟的年紀。進入大學有能力開悟,也未必有人點醒。不知有多少人,能夠回顧自身學習歷程,把曾經在心中的疑惑,好好解答。   台灣現在的教育環境,似乎考試拿分數最重要,很少人思考這些細微枝節。以上個人想法,老師您有沒有興趣寫一篇文章?(我好像還沒看到您部落格有這樣的文章探討) 我的文字僅供參考,可以自由刪減、變化,如果對大家有益,應該值得寫,不必列出我的姓名,只要稱呼我「網友」即可。

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可對角化矩陣的譜分解──續篇(上)

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階可對角化矩陣, 為相異特徵值,也稱作矩陣譜 (spectrum)。若 是可對角化矩陣,譜定理 (spectrum theorem) 宣稱下列譜分解式唯一存在: , 其中 稱為對應特徵值 的譜投影算子 (矩陣),表達式為 (見“可對角化矩陣的譜分解”) , 並具有以下性質: 是沿著 的行空間 (column space) 至零空間 (nullspace) 的投影矩陣,即冪等矩陣 (idempotent matrix),滿足 (見“特殊矩陣 (5):冪等矩陣”); 若 ,; 。 本文證明譜定理的反向命題:若 ,其中 為相異數, 為非零矩陣並滿足 ,,及 ,則 是可對角化矩陣。為方便閱讀,我將證明過程切割成數個與譜投影矩陣 相關的性質。

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利用 Householder 變換證明 Schur 定理

本文的閱讀等級:中級 任何一個 階矩陣 皆相似於一上三角矩陣 ,其中 的主對角元為 的特徵值,且必存在一么正矩陣 (unitary matrix) 滿足 (見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”),使得 。簡單講,任一方陣皆么正相似於一上三角矩陣,或者說任一方陣定可么正三角化,此事實稱為 Schur 定理。我們曾以 Gram-Schmidt 正交化程序設計了建構式證明 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”),本文介紹一個利用 Householder 變換的歸納證法。

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答Eden──關於么正矩陣的冪

網友Eden留言: 老師您好,最近因為研究上發現 unitary 矩陣的一個現象:假設 為一個 的 unitary 矩陣, 的 次方 ( 為某個 的倍數) 必定會變成單位矩陣。自己一直從 unitary 的特徵值 (特徵值大小都會是1) 變化去思考,但目前還是只知道次方項 會是 的倍數,想了解 和 之間的確切關係。不知道老師對我提的問題是否清楚,方便給點提示或是思考方向之類的嗎?

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幾何重數不大於代數重數的證明

本文的閱讀等級:中級 給定一個 階矩陣 ,特徵值 是特徵多項式 的根,重根數稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。對應特徵值 ,所能找到最大的線性獨立向量數,也就是特徵空間的維數 ,稱為 的幾何重數 (geometric multiplicity)。見下例, 。 上三角矩陣的主對角元為其特徵值,可知 的特徵值為 ;特徵值 的代數重數是 ,特徵值 的代數重數是 。對應特徵值 , 有一個特徵向量 ,幾何重數為 ;對應特徵值 , 有一個特徵向量 ,幾何重數為 。本文利用矩陣三角化證明:對應每一個特徵值,幾何重數必不大於代數重數。(其他證法請參閱“特徵值的代數重數與幾何重數”,“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”,“拒絕行列式的特徵分析”。)

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實矩陣的分塊三角化與分塊對角化

本文的閱讀等級:中級 實係數多項式未必存在實根,例如,。專業的數學語彙是實數體 並非一個代數閉體 (algebraically closed field)。這個事實表現在實矩陣可能不存在實特徵值,如下例, , 其中 和 是實數且 。不難驗證 有共軛特徵值 ,其中 。在矩陣理論中,Schur 定理表明任一 階矩陣 必可通過相似變換三角化為 ,其中 是一上三角矩陣, 是一么正 (unitary) 矩陣,滿足 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”)。考慮 是實矩陣的情況。若 的特徵值都是實數,則 為實矩陣且 為實正交 (orthogonal) 矩陣,。以下實正交矩陣簡稱為正交矩陣。若 有複 (共軛) 特徵值,則 和 都是複矩陣。在此情況下,如果我們要求 是正交矩陣,則 不再是複上三角矩陣,本文將證明 可以簡化至一個實分塊上三角矩陣。更進一步,若 是可對角化矩陣,則存在一可逆矩陣 … Continue reading

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Krylov 子空間法

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階複矩陣, 為一 維非零向量。1931年,俄國應用數學家、海軍工程師克雷洛夫 (Aleksey Krylov) 提出一個創新的想法[1]:運用向量序列 ,稱為 Krylov 序列,計算 的特徵多項式。Krylov 序列的擴張稱為 Krylov 子空間 (或循環子空間),記為 。 明顯地, 是 的一個子空間,故必存在最小正整數 使得 可表示為 的線性組合。如果 , 定義 次多項式 。 因為 ,我們說 是 相對於 的消滅多項式 (annihilating polynomial)。運用類似最小多項式 (minimal polynomial) 的論證方式可證明 (見“最小多項式 (上)”):給定任何矩陣—向量對 … Continue reading

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矩陣跡數與特徵值和奇異值的關係

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階複矩陣。矩陣 的主對角元之和稱為跡數 (trace),記作 。 矩陣的跡數與特徵值存在一個簡單的關係 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”): , 其中 是 的特徵值。因為種種緣故,多數的基礎線性代數課程就此打住,不再深入探究。引用電影《一代宗師》宮二小姐的話:「寧可一思進,莫在一思停。」現在我們繼續往前進。根據定義,直接計算矩陣乘法可得 本文通過計算 、 和 來探討矩陣跡數與特徵值和奇異值之間的不等關係。

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