Category Archives: 特徵分析

答r2123b──關於矩陣與遞迴關係式的特徵多項式

網友r2123b留言: 老師:請問線代的特徵多項式 跟求解遞迴方程式 ,,的 時所用的特徵多項式有什麼關聯嗎?為什麼都叫特徵多項式?

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答求知慾──關於分塊矩陣的冪矩陣

網友求知慾留言: 周老師您好:近期翻看線代啟示錄,關於分塊矩陣有些問題,請問是否能有方法將其作次方?若是普通矩陣可利用對角化作 次方,分塊矩陣則只翻閱到特殊矩陣的對角化,是否有其他分塊矩陣能夠利用對角化?或是有其他分法可以進行分塊矩陣的 次方?謝謝。

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電影《心靈捕手》的數學問題 (二)

本文的閱讀等級:初級 話說麻省理工學院朗博教授為尋訪武林高手,特意在走廊黑板公布一道數學難題挑戰天下豪傑。果然此地臥虎藏龍,不知何方神聖匆匆留下正確解答,隨即消失無蹤 (見“電影《心靈捕手》的數學問題 (一)”)。這天朗博教授踏進教室,意外發現裡面擠滿了聞風而來的學生,大家都想探明這位神祕數學法師的真實身分。朗博教授用朗讀莎士比亞作品的語氣召喚法師摘下面具前來領獎: So without further adieu, come forward, silent rogue, and receive thy prize. 為了增添戲劇效果,現在還不是男主角威爾以數學大師之尊現身的時候。再說這個時機也不恰當,當下威爾因為打群架被抓進警察局。閒話休提,書歸正傳,本文要討論的問題是朗博教授身後黑板上的數學式。請先觀賞影片 (字幕見[1])。

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右特徵向量與左特徵向量

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若 ,,滿足 ,我們稱 是 的一個特徵向量, 是對應的特徵值。淺白地說,特徵向量 經過矩陣 (線性變換) 映射得到的像 (image) 不改變方向,惟長度伸縮了 倍。尼采在《查拉圖斯特拉如是說》裡說: 知識的擁護者必須不僅愛他的敵人,同樣地也必須能夠恨他的朋友。假如你總是自認是一位學生,那麼你從一位老師所獲得的將是非常貧乏的。 尼采的意思是,學生應當審問慎思,才能分辨老師和課本說的話究竟是教條戒律還是客觀真理。在線性代數中,我們總是默認向量是行向量 (column vector),故習以為常地在矩陣的右邊乘一行向量。倘若我們在矩陣的左邊乘一列向量 (row vector),是否也可以平行發展出一套特徵向量與特徵值理論?雖然教科書鮮少提及,但矩陣左乘一列向量並不是一個毫無意義的幼稚想法,下面我們就來探討這個問題。

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答perlpython──關於二階旋轉矩陣的對角化問題

網友perlpython留言: 老師,你好。我想請問一下,關於二維空間的旋轉矩陣。它在角度等於0度和180度時,分別會有eigenvalue = 1,-1,這是很直觀從圖形上就可以得到的結果。此外,當角度是其他度數時,很明顯eigenvalue是不存在的,在實數系上因而沒辦法對角化。然而,當討論的區域是複數系時,對於旋轉矩陣而言,它是有辦法對角化的嗎?因為我在課本上只讀到,複數系有機會對角化,只是我不知道從何下手去討論?或是有背後的理論知識,如果有專有名詞,懇請老師稍微點一下,謝謝,感激不盡。

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特徵向量是甚麽物,恁麽來?

本文的閱讀等級:初級 《南嶽懷讓禪師傳》記載: 祖問:「甚麽處來?」 曰:「嵩山來。」 祖曰:「甚麽物,恁麽來?」師無語,經八載忽然有悟,乃白祖曰:「某甲有個會處。」 祖曰:「作麽生?」 師曰:「説似一物即不中。」 唐代懷讓禪師為尋訪善知識跑去嵩山謁見惠安國師,惠安指點他參訪曹溪六祖。禮拜畢,六祖問:「你從何處來?」懷讓回:「我從嵩山來。」六祖又問:「你是甚麼東西?怎麼來的?」懷讓當下無言以對,經過八年參究,一天豁然開悟,便對六祖說:「我想通了。」六祖問:「怎麼樣?」懷讓回:「說是甚麼東西都不對。」   特徵向量甚麽處來?問既一般,答亦相似,翻開課本就可以找到答案,定義有兩種版本。 線性變換版:令 為一個向量空間, 是一個線性變換。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 矩陣版:令 為一個 階矩陣。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 若繼續追問:特徵向量是甚麽物,恁麽來?「説似一物即不中」提點我們不要死執一法 (定義),所以何妨「說似多物」,即便亂槍打鳥不中或許亦不遠矣。

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偽譜分析

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階矩陣。矩陣 的特徵值形成的集合稱為矩陣譜 (spectrum),記為 。現實應用中矩陣難免引入擾動,我們非常關心特徵值會有多大的變異,其中一部分固然來自擾動的直接衝擊,另一部分則取決於矩陣的固有性質。正規矩陣 的標記是 和 滿足交換律 ,並擁有一個令人稱頌的性質:可么正對角化,意思是 可分解為 ,其中 ,,且 是么正 (unitary) 矩陣, (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。因為這個特性,正規矩陣特徵值的變化上界完全由擾動決定,所以相對不敏感。然而,對於非正規矩陣,縱使微小的擾動也可能引發特徵值的巨大改變 (見“特徵值的擾動分析”)。見下例: 。 矩陣 有重複的特徵值 ,但僅有一個線性獨立的特徵向量,因此不可對角化,自然是非正規矩陣。設微擾矩陣 的元 是一極小的正數。矩陣 有相異特徵值 ,但仍非正規矩陣。考慮一般情況,為了探討 的特徵值受到微擾矩陣 的影響,在 的前提下,我們可以隨意設定 ,然後觀察收集 的特徵值。這個思想實驗的結果稱為矩陣 的偽譜 (pseudospectrum),有下列三種等價的表達式: 明顯地,當 ,偽譜 收斂至矩陣譜 。本文將證明這三種表達是等價的,並介紹幾個偽譜的性質 (取自[1,2])。

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數值域

本文的閱讀等級:高級 給定一 階矩陣 ,矩陣譜 (spectrum) 是所有特徵值所形成的集合,表示為 ;譜半徑 (spectrum radius) 是包含特徵值的最小半徑 (原點是圓中心),記為 (見“譜半徑與矩陣範數”)。類似矩陣譜的表達方式, 的數值域 (numerical range 或 field of values) 定義如下: , 或以 Rayleigh 商表示為 。 這兩個定義是等價的,證明見“Hermitian 矩陣特徵值的變化界定”。為了測量數值域的大小, 的數值半徑 (numerical radius) 定義為包含數值域的最小圓半徑: 。 矩陣譜 是一離散集合,稍後我們將證明數值域 是一連通緊凸集 (connected compact convex set)。如同矩陣譜的功用,數值域也可以幫助我們了解矩陣的本質,尤其是不具特殊形態的一般矩陣。

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線性微分方程的穩定性

本文的閱讀等級:中級 在許多物理、工程和經濟學問題,我們常關注動態系統在均衡狀態 (equilibrium state) 附近的行為。如果一系統受到小干擾後最終會返回均衡狀態,便稱此系統是漸近穩定 (asymptotically stable,以下簡稱穩定),否則稱為不穩定。設向量 表示系統於時間 所處的狀態。對於一般動態系統,我們可以用線性微分方程 近似描述系統在均衡狀態 附近的行為,其中 是一 階常數矩陣, 是由擾動所決定的初始狀態。本文推導穩定線性系統的充分與必要條件,即當 ,線性微分方程解 的所有元趨於零的條件。

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廣義特徵值問題

本文的閱讀等級:高級 對於 階矩陣 ,一般特徵值問題欲解出 ,其中 是 的特徵值, 是對應的特徵向量。在一些工程和統計問題中,譬如,自由振動系統,譜聚類分析 (spectral clustering)[1],我們面對的是廣義特徵值 (generalized eigenvalue) 問題:,其中 和 是兩個 階 Hermitian 矩陣 (或實對稱矩陣), 稱為 和 的廣義特徵值, 是對應的廣義特徵向量[2]。在多數的應用場合, 是一正定矩陣。本文將推導自由振動系統的動態方程 (譜聚類分析較為複雜,他日另文介紹),證明優化廣義 Rayleigh 商 (quotient) 等價於廣義特徵值問題,並討論廣義特徵值與廣義特徵向量的性質與算法。

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