Category Archives: 線性方程

翻轉 LU 分解

本文的閱讀等級:初級 愛因斯坦說[1]:「邏輯可以將你由 A 點帶到 B 點,想像則可以帶你到任何地方。」在我想像的翻轉課堂,學生會先在家裡觀看交大出版社發行的線性代數《教學光碟》,沒有購買光碟的學生則到學校圖書館觀看。在教室的時間,學生跟老師一起交流互動,我們經常以問答方式討論課程內容,但學生與老師的角色對調。底下抄錄一段關於 LU 分解的對話,大家可以體驗翻轉課堂的學習情境。 Advertisements

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逆矩陣的列和

本文的閱讀等級:初級 考慮三維幾何空間的三個點 , 和 ,求通過這三點的平面方程式。求解平面方程式的最簡單方法是找出平面的法向量 (運用行列式的平面方程解法參見“利用行列式求直線、平面和圓方程式”)。在 空間,外積 (cross product,亦稱向量積) 經常被用於計算法向量。平面方程式的解法如下:先得到位於平面上的二個向量,譬如, 和 ,計算它們的外積 (見“答張盛東──關於外積與行列式的關係”), 。 所求的平面方程式即為 。本文介紹一個基於矩陣代數的法向量算法:將三點的座標合併成一矩陣 , 其中每一列 (row) 為一個點的座標。此例 是一個可逆矩陣, 。 算出 的三個列和: , 此即通過給定三點的平面的法向量。多數人或許初次聽聞這個奇特的方法,往下閱讀前,讀者不妨先自行嘗試證明。

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九宮圖的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 九宮圖 (Lo Shu square),又稱洛書,即三階幻方 (magic square)。南宋楊輝《續古摘奇演算法》記載三階幻方的構造法:「九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出,戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足[1]」。九宮圖的陣列表示如下: 所謂 階幻方是指 個相異的數字排列成 階陣列形式,其中每一列、行[2]、主對角線與反主對角線 (anti-diagonal) 上的數字和皆等於 ,稱為幻方常數 (magic constant)。如果限定組合數字為連續正整數 ,則稱之為自然幻方,其幻方常數由階數 決定。因為 階自然幻方的數字總和 均分給 個列,可知 。九宮圖是一個三階自然幻方,幻方常數為 。如果將九宮圖視為 階矩陣 ,可以算出 ,逆矩陣為 (見“三階逆矩陣公式”) 。 令人訝異的是,九宮圖的逆矩陣也是一個幻方 (但非自然幻方),幻方常數恰為 。下面我們利用矩陣運算來證明這個有趣的性質。

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利用 LU 分解推導 Lehmer 矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 Lehmer 矩陣為一 階對稱矩陣 ,其中 Lehmer 矩陣是一種測試矩陣,通常用來評估逆矩陣算法的精確度。逆 Lehmer 矩陣為三對角矩陣 (見“特殊矩陣 (11):三對角矩陣”),並具有一種奇特的性質。令 表示 階 Lehmer 矩陣。對於 ,除了 的 元, 恰為 的 階領先主子陣 (即左上 階分塊)。下面列舉 的 Lehmer 矩陣及其逆矩陣: 透過觀察不太容易歸納出 Lehmer 矩陣的逆矩陣公式,本文用 LU 分解推導逆矩陣 (見“LU 分解”)。對稱矩陣 的 LU 分解可表示為 ,其中 是下三角矩陣且主對角元等於 , 是對角矩陣。若 … Continue reading

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三角圖案矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若所有的 滿足 ,則 稱為上三角矩陣;若所有的 滿足 ,則 稱為下三角矩陣。上三角矩陣的逆矩陣仍為上三角矩陣 (見“三角矩陣的逆矩陣”)。因為 ,下三角矩陣的逆矩陣也是下三角矩陣。在不失一般性的原則下,以下討論限定於下三角矩陣。若下三角矩陣 是可逆的,則 的主對角元必不為零,且 ,。少數的下三角矩陣的逆矩陣無須計算即可求得。如果所有的主對角元為 且僅有一行不為零,稱為原子下三角矩陣,逆矩陣可由反轉非主對角元的正負號得到,例如, 。 本文介紹一些具有特殊圖案的下三角矩陣的逆矩陣。以下設 和 為下三角矩陣。所有的例子表示為 ,並給出 的推導證明。因為 是下三角矩陣,故僅須證明對於 ,,其中 為 Kronecker 記號: 若 ; 若 。

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答LCB──關於矩陣乘積的逆矩陣、轉置與共軛轉置的形式

網友LCB留言: 请问老师, ( and are well defined.) 关于这三个公式,有没有更本质的规律蕴含在里面?

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轉置與共軛轉置

本文的閱讀等級:初級 矩陣具有加法與純量乘法運算。除了這兩個源自純量算術的運算,矩陣還有一個獨特的運算,稱為轉置 (transpose)。令 為 階矩陣。我們定義 的轉置,記作 ,為一個 階矩陣,其中 。換句話說,將 的列行對調即得轉置矩陣 ,如下例, 。 明顯地,。若 表示成分塊矩陣,則 不僅置換列行分塊,每一個分塊也必須隨之轉置,例如, 。 一般而言,轉置適用於實矩陣。在許多應用中,複矩陣的轉置常會附加共軛運算,稱為共軛轉置 (conjugate transpose)。複數 的共軛定義為 ,其中 且 。類似複數的共軛運算, 的共軛矩陣為 ,共軛轉置則為 ,或簡記為 。例如, 。 如同轉置運算,連續兩次共軛轉置不改變矩陣,。若 是實矩陣,共軛轉置退化成轉置,即 。下面我們討論 (共軛) 轉置與其他矩陣運算的結合,並介紹一些由 (共軛) 轉置所界定的特殊矩陣。

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高斯─約當法

本文的閱讀等級:初級 在解線性方程組的應用上,高斯─約當法[1] (Gauss-Jordan method) 是高斯消去法的延伸 (見“高斯消去法”),其目的要得到最簡約的列等價方程組。高斯消去法產生梯形矩陣後,我們可以繼續執行取代運算將軸元 (pivot) 上方的元悉數消去,並使用伸縮運算迫使軸元為 。高斯─約當法產生的矩陣稱為簡約列梯形式 (reduced row echelon form),由下列四個條件定義 (前兩個條件即為梯形矩陣的性質): 零列置於矩陣最底下。 每列軸元的位置都位於其上方各列軸元的右側。 軸元等於 。 軸元其上方與下方的元皆為零。 下面列舉兩個簡約列梯形式。數字 表示軸元,每一軸元上方和下方的元皆為零,其他各元 (以 表示) 可以是任意數: 。

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高斯消去法

本文的閱讀等級:初級 解線性方程組是線性代數處理的核心問題之一。考慮包含 個未知數 的線性方程式 , 其中係數 與 是給定的純量 (實數或複數)。若線性方程組有 個方程式,則可表示為陣列形式: 線性方程組的解 必須滿足上面 個方程式,也就是說方程組的解是 個方程式各自解的交集。線性方程組的系統化解法最早出現於公元前100年的中國古籍《九章算術》(見“《九章算術》的方程術”),隨後傳入日本和歐洲。今天,我們稱此算法為高斯消去法或高斯消元法 (Gaussian elimination) 以紀念德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 的廣泛使用故而推廣了這個方法。

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Hilbert 矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 Hilbert 矩陣 (因數學家希爾伯特 David Hilbert 得名) 是一 階矩陣,其中 ,。明顯地,Hilbert 矩陣 的所有 () 階領先主子陣 (principal submatrix) 都是 Hilbert 矩陣。下面是 階的例子: 。 Hilbert 矩陣是可逆矩陣,且逆元 皆為整數。Hilbert 矩陣的逆元有許多不同的表達式,下面可能是最簡明的一個公式: 。 當 ,逆 Hilbert 矩陣是 。 Hilbert 矩陣是一種特殊的 Cauchy 矩陣,本文利用已知的 Cauchy 矩陣逆矩陣公式來推導 Hilbert 矩陣的逆矩陣。

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