Category Archives: 線性方程

本文的閱讀等級：初級 考慮三維幾何空間的三個點 ， 和 ，求通過這三點的平面方程式。求解平面方程式的最簡單方法是找出平面的法向量 (運用行列式的平面方程解法參見“利用行列式求直線、平面和圓方程式”)。在 空間，外積 (cross product，亦稱向量積) 經常被用於計算法向量。平面方程式的解法如下：先得到位於平面上的兩個向量，譬如， 和 ，計算它們的外積 (見“答張盛東──關於外積與行列式的關係”)， 。 所求的平面方程式即為 。本文介紹一個基於矩陣代數的法向量算法：將三點的座標合併成矩陣 ， 其中每一列 (row) 為一個點的座標。此例 是一個可逆矩陣， 。 算出 的三個列和： ， 此即通過給定三點的平面的法向量。多數人或許初次聽聞這個奇特的方法，往下閱讀前，讀者不妨先自行嘗試證明。

本文的閱讀等級：初級 九宮圖 (Lo Shu square)，又稱洛書，即三階幻方 (magic square)。南宋楊輝《續古摘奇演算法》記載三階幻方的構造法：「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足[1]」。九宮圖的陣列表示如下： 所謂 階幻方是指 個相異的數字排列成 階陣列形式，其中每一列、行[2]、主對角線與反主對角線 (anti-diagonal) 上的數字和皆等於 ，稱為幻方常數 (magic constant)。如果限定組合數字為連續正整數 ，則稱之為自然幻方，其幻方常數由階數 決定。因為 階自然幻方的數字總和 均分給 個列，可知 。九宮圖是一個三階自然幻方，幻方常數為 。如果將九宮圖視為 階矩陣 ，可以算出 ，逆矩陣為 (見“三階逆矩陣公式”) 。 令人訝異的是，九宮圖的逆矩陣也是一個幻方 (但非自然幻方)，幻方常數恰為 。下面我們利用矩陣運算來證明這個有趣的性質。

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階矩陣。若所有的 滿足 ，則 稱為上三角矩陣；若所有的 滿足 ，則 稱為下三角矩陣。上三角矩陣的逆矩陣仍為上三角矩陣 (見“三角矩陣的逆矩陣”)。因為 ，下三角矩陣的逆矩陣也是下三角矩陣。在不失一般性的原則下，以下討論限定於下三角矩陣。若下三角矩陣 是可逆的，則 的主對角元必不為零，且 ，。少數的下三角矩陣的逆矩陣無須計算即可求得。如果所有的主對角元為 且僅有一行不為零，稱為原子下三角矩陣，逆矩陣可由反轉非主對角元的正負號得到，例如， 。 本文介紹一些具有特殊圖案的下三角矩陣的逆矩陣。以下設 和 為下三角矩陣。所有的例子表示為 ，並給出 的推導證明。因為 是下三角矩陣，故僅須證明對於 ，，其中 為 Kronecker 記號： 若 ； 若 。

網友LCB留言： 请问老师， ( and are well defined.) 关于这三个公式，有没有更本质的规律蕴含在里面？

本文的閱讀等級：初級 在解線性方程組的應用上，高斯─約當法[1] (Gauss-Jordan method) 是高斯消去法的延伸 (見“高斯消去法”)，其目的要得到最簡約的列等價方程組。高斯消去法產生梯形矩陣後，我們可以繼續執行取代運算將軸元 (pivot) 上方的元悉數消去，並使用伸縮運算迫使軸元為 。高斯─約當法產生的矩陣稱為簡約列梯形式 (reduced row echelon form)，由下列四個條件定義 (前兩個條件即為梯形矩陣的性質)： 零列置於矩陣最底下。 每列軸元的位置都位於其上方各列軸元的右側。 軸元等於 。 軸元其上方與下方的元皆為零。 下面列舉兩個簡約列梯形式。數字 表示軸元，每一軸元上方和下方的元皆為零，其他各元 (以 表示) 可以是任意數： 。

本文的閱讀等級：初級 解線性方程組是線性代數處理的核心問題之一。考慮包含 個未知數 的線性方程式 ， 其中係數 與 是給定的純量 (實數或複數)。若線性方程組有 個方程式，則可表示為陣列形式： 線性方程組的解 必須滿足上面 個方程式，也就是說方程組的解是 個方程式各自解的交集。線性方程組的系統化解法最早出現於公元前100年的中國古籍《九章算術》(見“《九章算術》的方程術”)，隨後傳入日本和歐洲。今天，我們稱此算法為高斯消去法或高斯消元法 (Gaussian elimination) 以紀念德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 的廣泛使用故而推廣了這個方法。