Category Archives: 線性變換

答DJWS──關於以鏡射變換實現矩陣轉置

網友DJWS留言: 想請教老師一個問題:給定矩陣 ,使用一連串的鏡射變換,變成其轉置 ,該如何做呢? Advertisements

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答王昭晴──關於線性代數之“線性”一詞的涵義

網友王昭晴留言: 老師您好,我最近在回顧過去所學的線性代數時開始有了一些問題。這些事過去不曾仔細思考過就當作一個名詞走馬看花的過去了。尤其是關於“線性”兩個字。為何要特別叫“線性”呢?我的意思是線性代數中一些定義會加註線性兩個字,例如線性向量空間 (linear vector space) 與方程式或者向量的線性組合 (linear combination)。為何要特別稱此二者為線性?難道有非線性的向量空間與非線性的組合嗎?而“線性”二字是否有除了線性方程式以外更深層的意思呢?還是說僅僅只是因為線性代數的發展是從線性方程式開始研究起,就稱作線性了呢?

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高階旋轉矩陣

本文的閱讀等級:中級 若 是 階實正交矩陣 (簡稱正交矩陣),,且 ,則 稱為旋轉矩陣。以下設 。正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (見“旋轉與鏡射”): 對於任意 ,。 對於任一 ,。 對於任意 ,。 加入條件 的用意在於物體旋轉是剛體運動 (rigid body motion),故而保留方向性 (orientation)。若 和 是同大小的旋轉矩陣,則 且 ,可知 也是旋轉矩陣。

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旋轉與鏡射

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階實矩陣。若 ,即 ,我們稱 為正交矩陣 (orthogonal matrix) 。令 為正交矩陣 的行向量 (column vector),。因此,,即 若 , 若 。正交矩陣的行向量組成一個單範正交集 (orthonormal set)。因為 是實矩陣,,正交矩陣是一種特殊的么正 (unitary) 矩陣,其界定條件為 。正交矩陣繼承么正矩陣的性質,正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (證明見“等距同構與么正矩陣”): 對於任意 ,。 對於任一 ,。 對於任意 ,。 本文討論兩種主要的正交矩陣:旋轉與鏡射,並解說兩者的相互表達。為便利說明,我們將使用下列預備知識。假設 ,。使用性質2,,即得 ,故正交矩陣的特徵值的絕對值等於 。正交矩陣歸屬正規 (normal) 矩陣,即 ,因此擁有完整的 個單範正交特徵向量 (見“特殊矩陣 … Continue reading

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基本矩陣運算的定義

本文的閱讀等級:初級 德國數學家希爾伯特 (David Hilbert) 說[1]:「一個數學理論不被認為是完整的,直到你可以說得很清楚──你能解釋給第一個在街上相遇的人聽。」長久以來,這個問題一直困擾著許多線性代數初學者:基本矩陣運算,包括矩陣加法、純量乘法以及矩陣乘法,是如何被定義出來的?基本矩陣運算的數學原因既不是商業機密亦非神祕主義,矩陣與其基本運算源自於線性代數的核心運轉機制──線性變換 (linear transformation) 或稱線性映射 (linear mapping)。定義於有限維向量空間 (vector space),譬如,實座標向量空間 ,複座標向量空間 ,的線性變換可以用矩陣表示;矩陣加法、純量乘法與矩陣乘法分別對應線性變換的加法、純量乘法以及複合 (composition)。換句話說,線性變換涉及的所有計算工作都可以透過矩陣運算實現。有別於一般基礎線性代數教科書直接給出計算公式,本文從線性變換觀點定義基本矩陣運算,並利用此定義證明相關的運算法則。

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答Vahi Chen──關於矩陣的轉置的線性變換表示矩陣

網友Vahi Chen留言: 周老师,您好!向您请教一个问题。我们知道: 线性变换可以表示为矩阵的乘积; 矩阵的转置是一个线性函数; 不存在一个矩阵 ,使得对于任意一个矩阵 ,都有 。 但若给定一个矩阵 ,我们是否总能找到一个矩阵 ,使其满足 ?而显然答案是否定的。考虑 ,满足该等式的 并不存在。所以,我的疑问是既然矩阵转置是线性函数,而线性函数又可以表示为矩阵的乘积,但针对上述的特例,这样的矩阵却有可能不存在。“可以表示”和“有可能不存在”这两者是否互为矛盾,或者这二者之间存在怎样的一种联系?是否可以说:“线性变换并不总是能表示为矩阵的乘积,因为这样的矩阵可能并不存在”?

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答王jiun──關於平面上的鏡射問題

網友王jiun留言: Dear 周老師,偶發機會,連上老師的網站,看到了好多矩陣的問題。原本是想查看看 Cayley-Hamilton 定理,因為高中數學解決矩陣高次方問題時,利用 Cayley-Hamilton 定理創造出一個特徵方程式,再除以此特徵方程式,將高次方變成處理餘式即可。這方法真妙……於是上網搜尋關鍵字,因緣際會連上老師的網站,真是福氣,學習好多好多東西 (原因還是很多看不懂)。 近期高中(四)3-4上課到鏡射矩陣,學習到一些好方法。因此利用直線的斜率創造出旋轉矩陣解決了對稱點的問題,但是偏偏課本舉例的對稱直線都是通過原點的。但是我發現若對稱直線沒有通過原點,那到底要怎麼解決呢?我原本想是不是先做點的平移,使直線通過原點,不過越想越頭痛,陷入思考盲點。以下是我從網路去找練習題目練習,都有給解答,但都沒有解釋。我怎麼都想不透?特請老師可否解救我,感恩。 問題一:設點 對於直線 的鏡射點為 ,請找出 與 的關係 (見圖一)。 解答: 問題二:如圖二,設直線 與 的夾角為 ,點 對於 的鏡射點為 ,點 對於 的鏡射點為 ,找出 與 的關係。(兩次鏡射等於一次旋轉) 解答: 問題三:設點 對於直線 (其中 ) 的鏡射點為 ,請找出 與 的關係。 解答: 第一題:那一直線斜率明明是 … Continue reading

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三維空間的旋轉矩陣

本文的閱讀等級:中級 在二維平面上,逆時針方向旋轉 徑度 (弧度,radian) 的旋轉矩陣為 (見“幾何變換矩陣的設計”) 。 不難驗證 的特徵值為 和 ,其中 ,並具有下面兩個基本性質: 旋轉矩陣 的兩個行向量 (column vector) 和 組成一個單範正交集 (orthonormal set),也就是說, 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),滿足 ,故逆旋轉矩陣為 。 對於任一實正交矩陣 ,,即得 。若 ,則 稱為適當的 (proper) 正交矩陣。計算 ,旋轉矩陣 是適當的正交矩陣。若 ,則 稱為不適當的正交矩陣,例如鏡射矩陣 (見“旋轉與鏡射”) 。 本文討論常見於電腦圖學 (computer … Continue reading

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四元數與三維空間旋轉

本文的閱讀等級:中級 愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 將複數 ,其中 是實數, 是虛數單位,延伸為四元數 (quaternion),即一個實數加上三個虛部, , 其中 是實數,虛數單位 滿足基本公式 。 任一複數 與單位複數 的乘積 可以解讀為點 在二維複數平面逆時針旋轉 徑度 (見“複數的矩陣表示”)。類似地,四元數亦可表示三維空間旋轉,不過這個性質不像複數蘊含平面旋轉那般明顯,因為實在難以想像處於 的四元數如何對 向量執行運算。

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Cayley 變換

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若 可逆,英國數學家凱萊 (Arthur Cayley) 於1846年提出下列變換,稱為 Cayley 變換[1]: , 其中 與 是可交換矩陣 (證明見註解[2])。除非特別註明,以下考慮實矩陣。通過 Cayley 變換,反對稱矩陣 (anti-symmetric matrix) 或稱斜對稱矩陣 (skew-symmetric matrix) 與特殊的一類正交矩陣 (orthogonal matrix) 具有一對一的對應關係。

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