Category Archives: 線性變換

網友DJWS留言： 想請教老師一個問題：給定矩陣 ，使用一連串的鏡射變換，變成其轉置 ，該如何做呢？

網友王昭晴留言： 老師您好，我最近在回顧過去所學的線性代數時開始有了一些問題。這些事過去不曾仔細思考過就當作一個名詞走馬看花的過去了。尤其是關於“線性”兩個字。為何要特別叫“線性”呢？我的意思是線性代數中一些定義會加註線性兩個字，例如線性向量空間 (linear vector space) 與方程式或者向量的線性組合 (linear combination)。為何要特別稱此二者為線性？難道有非線性的向量空間與非線性的組合嗎？而“線性”二字是否有除了線性方程式以外更深層的意思呢？還是說僅僅只是因為線性代數的發展是從線性方程式開始研究起，就稱作線性了呢？

本文的閱讀等級：初級 德國數學家希爾伯特 (David Hilbert) 說[1]：「一個數學理論不被認為是完整的，直到你可以說得很清楚──你能解釋給第一個在街上相遇的人聽。」長久以來，這個問題一直困擾著許多線性代數初學者：基本矩陣運算，包括矩陣加法、純量乘法以及矩陣乘法，是如何被定義出來的？基本矩陣運算的數學原因既不是商業機密亦非神祕主義，矩陣與其基本運算源自於線性代數的核心運轉機制──線性變換 (linear transformation) 或稱線性映射 (linear mapping)。定義於有限維向量空間 (vector space)，譬如，實座標向量空間 ，複座標向量空間 ，的線性變換可以用矩陣表示；矩陣加法、純量乘法與矩陣乘法分別對應線性變換的加法、純量乘法以及複合 (composition)。換句話說，線性變換涉及的所有計算工作都可以透過矩陣運算實現。有別於一般基礎線性代數教科書直接給出計算公式，本文從線性變換觀點定義基本矩陣運算，並利用此定義證明相關的運算法則。

網友Vahi Chen留言： 周老师，您好！向您请教一个问题。我们知道： 线性变换可以表示为矩阵的乘积； 矩阵的转置是一个线性函数； 不存在一个矩阵 ，使得对于任意一个矩阵 ，都有 。 但若给定一个矩阵 ，我们是否总能找到一个矩阵 ，使其满足 ？而显然答案是否定的。考虑 ，满足该等式的 并不存在。所以，我的疑问是既然矩阵转置是线性函数，而线性函数又可以表示为矩阵的乘积，但针对上述的特例，这样的矩阵却有可能不存在。“可以表示”和“有可能不存在”这两者是否互为矛盾，或者这二者之间存在怎样的一种联系？是否可以说：“线性变换并不总是能表示为矩阵的乘积，因为这样的矩阵可能并不存在”？

網友王jiun留言： Dear 周老師，偶發機會，連上老師的網站，看到了好多矩陣的問題。原本是想查看看 Cayley-Hamilton 定理，因為高中數學解決矩陣高次方問題時，利用 Cayley-Hamilton 定理創造出一個特徵方程式，再除以此特徵方程式，將高次方變成處理餘式即可。這方法真妙……於是上網搜尋關鍵字，因緣際會連上老師的網站，真是福氣，學習好多好多東西 (原因還是很多看不懂)。 近期高中(四)3-4上課到鏡射矩陣，學習到一些好方法。因此利用直線的斜率創造出旋轉矩陣解決了對稱點的問題，但是偏偏課本舉例的對稱直線都是通過原點的。但是我發現若對稱直線沒有通過原點，那到底要怎麼解決呢？我原本想是不是先做點的平移，使直線通過原點，不過越想越頭痛，陷入思考盲點。以下是我從網路去找練習題目練習，都有給解答，但都沒有解釋。我怎麼都想不透？特請老師可否解救我，感恩。 問題一：設點 對於直線 的鏡射點為 ，請找出 與 的關係 (見圖一)。 解答： 問題二：如圖二，設直線 與 的夾角為 ，點 對於 的鏡射點為 ，點 對於 的鏡射點為 ，找出 與 的關係。(兩次鏡射等於一次旋轉) 解答： 問題三：設點 對於直線 (其中 ) 的鏡射點為 ，請找出 與 的關係。 解答： 第一題：那一直線斜率明明是 … Continue reading →

本文的閱讀等級：中級 愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 將複數 ，其中 是實數， 是虛數單位，延伸為四元數 (quaternion)，即一個實數加上三個虛部， ， 其中 是實數，虛數單位 滿足基本公式 。 任一複數 與單位複數 的乘積 可以解讀為點 在二維複數平面逆時針旋轉 徑度 (見“複數的矩陣表示”)。類似地，四元數亦可表示三維空間旋轉，不過這個性質不像複數蘊含平面旋轉那般明顯，因為實在難以想像處於 的四元數如何對 向量執行運算。