Category Archives: 線性變換

雙重對偶

本文的閱讀等級:高級 令 為一個有限維向量空間。對偶空間 (dual space) 是定義於 的所有線性泛函所形成的向量空間 (見“線性泛函與對偶空間”)。對偶空間 同構於 (isomorphic) 向量空間 ,這意味 ,具體的表現是:給定 的任一組基底 ,在 上存在唯一與之對應的對偶基底 。反過來說,對偶空間 的任一組基底是否為 的某一組基底的對偶基底?回答這個問題的關鍵在於引進一個新概念,名為雙重對偶 (double dual) 或第二對偶 (second dual)。顧名思義,雙重對偶就是套用兩次對偶於向量空間 ,即對偶空間 的對偶空間,記為 或 。換句話說,雙重對偶 是定義於 的線性泛函形成的向量空間 的線性泛函所構成的向量空間。本文的主題在探討向量空間 和雙重對偶 之間的關係,預備知識包括線性泛函、對偶空間和對偶基底,請讀者先參閱“線性變換的轉置”的前半段。   何謂對偶空間的對偶空間?如何理解這個概念?聽聽莊子怎麼說。《莊子•齊物論》記載「莊周夢蝶」的故事: 昔者莊周夢為蝴蝶,栩栩然蝴蝶也,自喻適志與!不知周也。俄然覺,則蘧蘧然周也。不知周之夢為蝴蝶與,蝴蝶之夢為周與?周與蝴蝶,則必有分矣。此之謂物化。 在電影《全面啟動》(Inception,中國大陸譯《盜夢空間》),李奧納多•狄卡­皮歐 (Leonardo DiCaprio) 飾演的唐姆•考柏 … Continue reading

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答Eric──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣的逆矩陣

網友Eric留言: 您好,我剛初學到這個環節,看了此文後 (答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題),想請教兩個問題: 令 為向量空間, 和 為其上兩組基底,,則 不一定存在吧?是故縱 存在, 也不一定存在吧? 令 存在反函數 ,則矩陣表示法 及 的關係即是 ,我以為似乎不必大費周章討論那麼多?

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線性變換的轉置

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣且 和 是 維向量。通過矩陣乘法,矩陣 將 維向量 映射至 維向量 。矩陣 是一個從幾何向量空間 映至 的線性變換,因為矩陣乘法滿足 且 , 是純量。類似地, 階轉置矩陣 (transpose) 是一個從 映至 的線性變換 (見“轉置矩陣的意義”)。既然每一個矩陣都是線性變換,我們可以反過來問:對於線性變換 ,其中 和 是有限維向量空間,如何定義線性變換 的轉置變換?1970年代以前出版的線性代數教本經常從線性變換的轉置來定義矩陣的轉置[1]。這套論述固然嚴謹扎實,但必須建立在線性泛函 (linear functional) 和對偶空間 (dual space) 的基礎上,對於非數學專業的讀者多少總會增加負擔,故現今大概只有專為數學系課程撰寫的教科書才會納入這個論點[2]。在開始討論之前,我們先回顧相關的線性泛函和對偶空間的預備知識 (詳見 “線性泛函與對偶空間”)。

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複數的矩陣表示

本文的閱讀等級:初級 十八世紀末,複數已漸漸被時人所接受,1799年挪威─丹麥數學家韋塞爾 (Caspar Wessel) 提出複數可看作平面上的一點。數年後,高斯 (Carl Friedrich Gauss) 再提出此觀點並大力推廣,從此複數的研究開始快速發展[1]。複數數系是一個體 (域,field),我們用 表示複數體。簡單地說,一個體就是具有加法和乘法的數系 (見“有限體與模算術”),譬如,實數系 是一個最常見的體。高斯主張複數系 是二維平面 (稱為複數平面),並賦予一乘法運算。令實部單位 在複數平面的座標為 ,虛部單位 在複數平面的座標為 。任一複數 可唯一表示為 ,其中 和 是實數,也就是說,複數 可以視為實數 和 組成的有序對: 。 這裡我們要澄清一個觀念:向量空間 的維數 (dimension) 究竟是 還是 ?向量空間 的維數定義為 的基底的基數 (cardinal number),即基底向量的總數。複數系 既是一個複向量空間也是實向量空間[2], 的維數取決於構成向量空間的體,也就是說,,但 。不過,複向量空間 … Continue reading

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線代膠囊──線性變換表示矩陣

本文的閱讀等級:初級 令 是從向量空間 映至向量空間 的一線性變換。如何將線性變換 表示成矩陣 ?   線代箴言:「基底無敵。」針對一向量空間 ,一組基底 是屬於 的向量集,滿足兩個性質:第一, 是一個線性獨立集;第二, 的所有線性組合填滿 ,或者說 生成 (span) 。

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答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題

網友npes_87184留言: 線性變換 的定義域與到達域都是向量空間 ,且 和 是 的兩組基底。如果我知道 ,有辦法求得 ?

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圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣

本文的閱讀等級:中級 在線性變換中,最令學者困惑的主題莫過於揉合了基底、座標、線性變換與其表示矩陣的變換問題。令 為一個定義於 的向量空間,。設 和 是向量空間 的兩組基底。以下是四個典型的變換問題[1]。 Q1 基底變換:若 , 且 ,向量 和 有甚麼關係? Q2 座標變換:若 ,,座標 和 有甚麼關係? Q3 相似變換:若 且 ,,線性變換 和 有甚麼關係? Q4 相似矩陣:若 且 ,,矩陣 和 有甚麼關係?

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線性變換與矩陣的用語比較

本文的閱讀等級:初級 在線性代數中,線性變換 (線性映射) 是矩陣的一種抽象描述,矩陣則是線性變換的具體實現。令 是一個從向量空間 映至向量空間 的變換,其中 稱為定義域 (domain), 稱為到達域 (codomain)。每一個向量 經由 映至 的一個向量 ,稱為 的像 (image)。對於任何 與純量 [1],如果 滿足 則 稱為一個線性變換。若 , 也稱為線性算子 (linear operator)。假設 和 是有限維向量空間, 且 。令 和 分別為向量空間 和 的基底。任一線性變換 可用矩陣乘法表示如下 (見“線性變換表示矩陣”): , 其中 是向量 參考 … Continue reading

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答兩面光──關於3×3階與4×4階齊次轉換矩陣的差異

網友兩面光留言: 周老師您好,我目前正在研究Lagrange運動方程式,對於轉換矩陣有些疑問。由於之前看的資料座標轉換並沒有平移的問題,且矩陣皆是,經查詢平移的座標轉換後,找到了所謂的齊次轉換矩陣,為的矩陣,也看到其他以做轉換矩陣的例子(但並非以Lagrange推導運動方程式),但我在您“線性變換表示矩陣”(註:應為“仿射變換”)中也看到了的平移轉換矩陣,我想請問在座標轉換中,與的差別在哪?

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答林容麟──關於座標變換矩陣的快捷算法

網友林容麟留言: 周老師您好。在 2010/02/problem-set-7-2010 的練習題的第一題(c),要找出 change-of-coordinates matrix from basis to ,請問一下這個矩陣的係數是要怎麼找比較快,像這題答案是 ,那麼若題目的基底(basis)包含4個向量,解出 階 change-of-coordinates matrix 不是很費時嗎?謝謝~   答曰: 我將原問題符號稍做更改,抄錄於下:設 空間中子空間 有兩組 (有序) 基底: 。 求從基底 至基底 的座標變換矩陣 (change-of-coordinates matrix),記為 。

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