Category Archives: 內積空間

本文的閱讀等級：初級 在歐幾里得空間 ，兩個向量的內積與外積是怎麼來的？從決定論 (determinism) 的觀點，內積與外積之所以如此定義，可以用先前的數學發展和事態來解釋。愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 於1843年提出四元數 (quaternion) 的概念。一個四元數是一個實數加上三個虛部 (見“四元數”)，記為 ，其中 是實數，虛數單位 滿足基本公式 。1878年，英國數學家克利福德 (William Kingdon Clifford)[1] 出版 Elements of Dynamic，書中首次用純量積 (scalar product) 與向量積 (vector product) 表示兩個四元數的積。今天，我們習慣稱純量積為點積 (dot product) 或內積 (inner product)，向量積則稱為外積或叉積 (cross product)。令 ，， 為 的標準單位向量。一個四元數可用純量─向量和表示為 ，其中 … Continue reading →

本文的閱讀等級：中級 令 為幾何向量空間 的一個子空間，且 是 的正交補餘 (orthogonal complement)，意思是 且 。換一個說法，任一 可唯一分解成 ，其中 ，，且 。令 表示映射至子空間 的 階正交投影矩陣。下列性質成立 (見“正交投影矩陣的性質與界定”)： 對於每一 ，。 對於每一 ，。 是實對稱冪等矩陣，即 。 且 。 若 () 且 是 的一組基底，將所有的基底向量組成 階矩陣 ，正交投影矩陣 可由下列公式算得 (推導見“線代膠囊──正交投影矩陣”)： 。 值得注意的是 不因所選擇的基底 (即 矩陣) … Continue reading →

本文的閱讀等級：中級 令 為一 階實矩陣。若 ，則 可正交對角化為 ，其中 是實正交矩陣 (orthogonal matrix)，滿足 ，， 是 的特徵值 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。以下令 ， 表示 的行空間 (column space，即值域)， 表示 的零空間 (nullspace)。本文介紹一種涵蓋對稱矩陣的特殊矩陣，稱為值域對稱矩陣 (range symmetric matrix)，具有下列等價的界定性質： ，其中 是一 階可逆分塊， 是一正交矩陣。 直白地說，值域對稱矩陣 的行空間等於列空間 (即 )，零空間等於左零空間 (即 )，行空間正交於零空間，且 正交相似於 ，其中 是可逆分塊。當值域對稱矩陣 退化為一對稱矩陣時， 即為非零特徵值所組成的對角矩陣。若 … Continue reading →

本文的閱讀等級：中級 令 為一內積空間。若 的向量範數 (長度) 由內積定義，，則有平行四邊形恆等式 (parallelogram identity)，即任意 滿足 。 使用內積性質便可證明 (“內積的定義”)，如下： 平行四邊形恆等式的命名來自當 ，如果採用歐氏範數，一個平行四邊形的兩條對角線長度的平方和等於它四邊長度的平方和 (見下圖)。反過來講，若平行四邊形恆等式成立，賦範向量空間 (定義了向量範數的向量空間) 必然是一內積空間嗎？答案是肯定的，下面將詳細說明。

本文的閱讀等級：初級 考慮線性方程 ，其中 為一 階矩陣。如果係數矩陣 存在一個 階左逆矩陣 使得 ，我們可以解出線性系統，如下： 不過，當你試圖反向推導時，卻遇到了麻煩： 我們並不能斷言 也是 的右逆矩陣，即 。問題出在那裡呢？