Category Archives: 內積空間

等距同構與么正矩陣

本文的閱讀等級:中級 考慮定義於 的線性變換,以 階變換矩陣 表示。哪些線性變換保留兩個向量之間的距離?精確地說,對於任意 維向量 ,我們想知道 必須具備甚麼條件方使得 。 滿足上述關係的線性變換稱為等距同構 (isometry)、正交變換 (orthogonal transformation) 或保距映射 (distance preserving)。相同的問題形式可以放在複數系來討論:哪些複數 使得 ,其中 ?明顯地, 必須滿足 ,或 。共軛複數 類比共軛轉置 ,倒數 類比逆矩陣 (見“矩陣與複數的類比”),則 可類比 ,稱之為么正矩陣 (unitary matrix,或酉矩陣,見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”)。如果 是一實矩陣,則 ,稱為正交矩陣 (orthogonal matrix)。下面證明等距同構與么正矩陣是等價的概念。 Advertisements

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線代膠囊──正交投影矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 階實矩陣 有線性獨立的行向量 (column vector)。如何求得 階正交投影矩陣 ,其值域為 的行空間?   線代箴言:「工欲善其事,必先利其器。」我們先討論正交投影矩陣的性質。這裡面包含兩個子問題:一般的投影矩陣有甚麼性質?加入正交條件後,又多了甚麼性質?投影矩陣 將 維向量 映射至 ,其中 是 的值域 (行空間),而且 經 的再次投影恆定不變 (投影兩次等於投影一次),即 。 因為 是任意向量,可知 ,稱為冪等矩陣 (idempotent matrix)。若 是一正交投影矩陣,投影後的殘量 必定正交於投影子空間 ,其中成員可表示為 (這裡 是一 維向量),於是有 。 因為 和 是任意向量,可知 。但 是對稱矩陣,故 。

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線代膠囊──QR 分解

本文的閱讀等級:中級 假設 階實矩陣 有線性獨立的行向量 (column vector)。如何求得 QR 分解 ,其中 階矩陣 的行向量組成單範正交集 (orthonormal set), 為 階上三角矩陣?   將 和 以行向量表示,並以上三角矩陣 聯繫, 即為 。 乘開上式, 。 我們的問題要解出 和 。但這不是一般所見的線性方程組,該怎麼辦呢?

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答andy6829──關於實矩陣的列空間是零空間的正交補餘

網友andy6829留言: 周老師您好,我最近從一本書籍 (有關錯誤更正碼的線性區塊碼) 看到作者對某個向量空間的敘述,但我左想右想還是不知道作者想表達的意思是什麼,可以請問老師下列的敘述代表著什麼意思呢? 對任何一個由 個線性獨立的列向量所組成的 矩陣 ,均存在一個由 個線性獨立的列向量組成的 矩陣 (為甚麼?),使得 的列空間的任意向量與 的列向量正交,並且任何與 的列向量正交的向量都在 的列空間中 (為甚麼?): 的列空間等於 的零空間。 我看過您所發表的〈行空間與零空間的互換表達〉,感覺好像和我所要問的問題很類似,但我還是百思不得其解,可以請老師給我一些提示 (hint),好使我了解其中的意義嗎?謝謝周老師的幫忙。

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答chang──關於線性代數的學習改進方法

網友chang留言: 在线代学习中会有这样一个疑问,就是不比数学分析之类的课程,线性代数似乎学了很容易忘?是不是学习上有什么方法可以改进吗?   答曰: 英國數學家哈代 (G. H. Hardy) 晚年時覺得他唯一還能為數學做些貢獻的事是寫一本探討數學的書,藉以表達自己對這門學科的看法,此書名為《一個數學家的辯白》(A Mathematician’s Apology),一開頭就說[1]: 如果一個數學家發現自己在寫關於數學的東西,他會感到很憂傷的。因為數學家的工作是做實事,比如證明新定理,使數學有所發展,而不是談論自己或別的數學家幹了些甚麼。 政治家蔑視時事評論家;畫家蔑視藝術評論家;生理學家、物理學家或數學家一般都有類似的感覺。做事者對評論者的蔑視是最深刻的,總的來看也是最合理的。解釋、評論、鑑賞是次等工作。 或許在一流數學家眼中,解釋 (exposition)、評論 (criticism) 和鑑賞 (appreciation) 是次等工作,但是對於研習數學 (特別是線性代數) 的人來說,這些卻都是最重要的實事。

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Legendre 多項式

本文的閱讀等級:中級 廣義化或稱一般化,是指將概念的定義予以修改或擴充使其適用於更大的範圍。廣義化是擴展數學理論與應用最常使用的方法之一,線性代數也有許多廣義化的斧鑿痕跡,函數空間(function space)即是一個明顯的例子。函數空間既是向量空間也是內積空間,因此內積空間的性質與運算同樣適用於函數空間(見“從幾何向量空間到函數空間”)。本文運用 Gram-Schmidt 正交化程序推導實多項式空間的一組正交基底──Legendre 多項式,給出一遞迴生成公式,並討論 Legendre 多項式在函數近似的應用。

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正交投影矩陣的性質與界定

本文的閱讀等級:高級 正交投影是一個威力強大的變換工具,它最主要的用途在於有效地分解向量空間。我們曾經在“正交投影──威力強大的線代工具”介紹正交投影矩陣的計算方法,並且利用正交投影解決了最小平方近似問題 (見“從線性變換解釋最小平方近似”)。本文欲進一步探討正交投影矩陣的性質和界定條件,並討論兩個正交子空間的正交投影矩陣關係。

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線性泛函與伴隨

本文的閱讀等級:高級 線性泛函 (linear functional) 為一從向量空間 映射至純量 的線性變換 (見“線性泛函與對偶空間”),如下例, 是一個定義於 的線性泛函。我們經常將 視為向量 和 的內積,也就是說,對於 ,線性泛函 可寫成 ,其中 。根據這個觀察,我們推想定義於內積空間 的線性泛函 ,是否都可以表示為 ?這裡 代表廣義內積運算 (見“內積的定義”)。再看另一個例子,令 是所有二次實多項式形成的向量空間,其中多項式 和 的內積定義為 對於 ,考慮以下函數 因為積分是線性運算,可知 是一個定義於 的線性泛函。同樣的問題,線性泛函 可否表示成 其中 屬於 ?注意, 不屬於 ,此例 不像前一個例子那麼容易確定,因此更凸顯下面這個定理的威力──它不僅證明原先的猜想,同時也給出一個計算方法。

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線性方程解的存在性與唯一性

本文的閱讀等級:初級 給定一個 階矩陣 ,對於任意 維非零向量 ,如何判斷 是否存在解?倘若有解,又有多少組解?線性方程 的解存在與否和 的行空間 (column space) 及 向量有關,解的唯一性則和 的零空間 (nullspace) 有關。我們先討論唯一性問題,見下列定理。

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Householder 變換於 QR 分解的應用

本文的閱讀等級:中級 目前已知三種主要的 QR 分解計算方法包括 Gram-Schmidt 正交化 (見“Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解”)、Givens 旋轉 (見“Givens 旋轉於 QR 分解的應用”),和 Householder 變換。本文介紹最後一種方法:利用特殊設計的 Householder 變換於矩陣的正交化簡 (orthogonal reduction),從而得到 QR 分解。

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