Category Archives: 向量空間

本文的閱讀等級：初級 法國數學家龐加萊 (Henri Poincaré) 說[1]：「數學是給予不同東西相同的名稱的一門藝術。」19世紀末矩陣理論建立後，數學家發現許多與矩陣差異頗大的數學實體在本質上其實非常相似。舉例來說，歐幾里得空間 是一個由點 組成的集合，其中 為實數。在歐氏幾何中，我們可以計算兩個點之和 (兩個向量相加)，伸縮連接原點與一個點的線段 (一個向量與一個數相乘)[2]。多項式集合 由最高次數為 的多項式組成，我們可以計算兩個多項式之和，一個多項式可與一個數相乘。不僅如此，這些不同的數學實體在加法以及與純量的乘法運算上和矩陣有著相同的性質。因此，與其分別研究這些數學主題，不如根據它們共有的性質統合在一起研究來得有效率。最終，數學家以抽象的公理化方式定義出一個數學結構，稱為向量空間。任何一個數學實體只要滿足這些規範都可歸類為向量空間。在數學中，空間一詞並不單獨存在，我們可以稱 是一個集合，但不稱 是一個空間。粗淺地說，空間是一個賦予某種數學結構的集合，該數學結構決定空間的名稱。向量空間是一種代數結構，線性變換 (或稱線性映射) 是兩個向量空間之間的一種特殊映射，因此向量空間也稱為線性空間，意即線性變換所在的空間。請注意，我們定義的是向量空間，而非向量。任何一個向量空間的元素都稱為向量，因此本文指稱的向量是幾何向量的推廣。

本文的閱讀等級：中級 令 為一 階矩陣。我們稱 為交換子 (commutator)，如果存在 階矩陣 和 使得 (見“交換子與可交換矩陣”)。判定方陣 是否為交換子的方法非常簡單： 為交換子的一個充要條件是 。例如，單位矩陣 不是交換子，因為 。若 為交換子，使用跡數循環不變性 (見“跡數的性質與應用”)，可得 。 下面證明：若 ，則 是一個交換子。證明包含三個部分，分述於下。

本文的閱讀等級：初級 令 和 同為 階矩陣。若存在一個 階可逆矩陣 使得 ，我們說 列等價 (row equivalent) 於 (見“矩陣的等價關係”)。這個名稱的由來係因 就是對 執行的基本列運算的複合 (即基本矩陣的乘積，見“左乘還是右乘，這就是問題所在”)。另一方面，若存在一個 階可逆矩陣 使得 ，我們說 行等價 (column equivalent) 於 ，因為 是對 執行的基本行運算的複合。如果列等價與行等價同時發生，即存在可逆矩陣 和 使得 ，則稱 等價於 。下述定理可用來判定 與 的等價關係。 等價標準型定理：對於任一 階矩陣 ，存在 階可逆矩陣 與 階可逆矩陣 使得 … Continue reading →

本文的閱讀等級：初級 令 表示最高次為 的多項式所形成的集合。給定 ， 以及方陣 ，我們定義矩陣多項式 。 例如， 且 ，矩陣多項式為 。 這篇短文討論矩陣多項式的加法、純量乘法及一般乘法，並證明消滅多項式 (annihilating polynomial) 的存在性，即對於任一方陣 ，存在一多項式 使得 。

本文的閱讀等級：中級 令 為一個從向量空間 映射至向量空間 的線性變換， 稱為定義域 (domain)， 稱為到達域 (codomain)。我們說 的值域 (range 或 image) 為 且 的核 (kernel) 或零空間 (nullspace) 為 。 值域 是 的一個子空間，零空間 是 的一個子空間 (見“子空間的辨識”)。假設 。如果 是 的一組基底，將它擴充為 的一組基底，，我們聲稱 組成 的一組基底。因為 ，我們只需要證明 是一個線性獨立集。考慮 。 因此，。但 是線性獨立集，意味 ，因此 ，推得 … Continue reading →

本文的閱讀等級：中級 在線性代數中，一 階複矩陣 可以視為線性算子 (linear operator)，。線性算子 的值域是矩陣 的行空間，記作 ；線性算子 的核是矩陣 的零空間，記作 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。若 是一可逆矩陣，則 且 ，其中 。若 是不可逆矩陣，則 未能充滿整個 而且 包含非零向量，[1] 且 。秩─零度定理聲明矩陣的秩 (rank) 與零度 (nullity) 之和等於線性算子的定義域的維數 (見“運用輸入輸出模型活化秩─零度定理”)： ， 其中 ，。另一方面，容斥定理闡明兩個子空間與子空間和以及子空間交集的維數關係 (見“補子空間與直和”)。容斥定理套用至行空間 與零空間 ，如下： 。 因此，，可以推論 同義於 。這個時候，在向量空間 ， 是 的一個補子空間，反之亦然，記作 … Continue reading →

本文的閱讀等級：初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ，零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 ， 稱為 的列空間 (row space)， 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間，其中列空間 和零空間 是 的子空間，行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題： 給定一 維向量 ，求線性方程 的通解 ，其中 為一特解，滿足 ， 稱為齊次解，滿足 ，即 。 求矩陣 … Continue reading →

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階矩陣。齊次方程 的所有解形成的集合稱為零空間 (nullspace) 或核 (kernel)，記為 。在線性代數中，零空間的計算主要出現於求線性方程 的通解，以及方陣 () 對應特徵值 的 (非零) 特徵向量 使得 。本文介紹兩個基於簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的零空間快捷算法。

網友matrix67留言： 老師您好，二相似矩陣有相同的列空間和零空間嗎？因為二相似矩陣是同一個線性變換 在不同基底下的表示矩陣，所以直觀上來想二相似矩陣的列空間應該都是 ，零空間都是 。但是事實似乎不是的，那麼如何理解這個問題呢？同時那一個矩陣的列空間與零空間和線性變換的 image 與 kernel 是相同的呢？