Category Archives: 隨筆雜談

2017 年大學學測的線性代數問題

網友周伯欣轉來2017年大學學測的一道線性代數問題: 設 為等差數列,且 為實數,若方程組 有解,則 網友周伯欣分享了他的解答:https://goo.gl/photos/WVfF3Kg5LzWNcHUSA並問道:周老師有興趣談談今年大學學測的一次方程組題目嗎? Advertisements

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「零」究竟是有還是沒有?

2000年3月27日,交通大學舉辦「人文與科技三賢鼎談」,三賢是法鼓山聖嚴法師,交通大學校長張俊彥與清華大學校長劉炯朗。會中有一段談話,抄錄於下[1]。 聖嚴法師:我到要請教一下,「零」究竟是有還是沒有? 張俊彥:也是有,也是沒有。無窮大也是有,也是沒有;無窮大好像存在,可是拿不到,所以也是有,也是沒有。 劉炯朗:非相非非相,假如用來解釋數學,零不是正,不是負。假如一被零除,就變成無窮大。把有限的分成零份,每份就變成無窮大。 聖嚴法師:在我的看法,零是有的,並不是等於沒有。當把零去掉了以後,才是真正的沒有。 劉炯朗:在數學上來講,沒有零,就無法建立一個完整的數學系統。 聖嚴法師:這個道理就是,當東西被量化時,它就一定是有的,而且也一定是有限的。 張俊彥:所以,零的發明是非常具關鍵性的。如果沒有這個零的話,甚麼都沒有;有了零,就甚麼都有了。

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矩陣積 AB 之轉置公式的無言證明

給定一個 階矩陣 ,我們定義 的轉置 為 階矩陣,滿足 。換句話說,將 的列行對調即得到 ,如下例: 。 所謂矩陣的列行對調可以形象化解釋如下:設想你將矩陣 抄寫在一張 (半透明) 紙板上,左手抓住左上角,右手抓住右下角,以連接 元與 元的直線為轉軸翻轉紙板即得到 ,再翻轉一次便可回復 。因此,。若 與 可乘, 的轉置公式為 (見“轉置與共軛轉置”) 。 底下提供一個無言證明 (proof without words)。

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三角恆等式的助記術

如果那一天我決心要寫《懺悔錄》自我批判,裡面肯定會有一個章節毫不掩飾地講述自己曾經耗費大量的時間與精力學習三角恆等式,但每每一覺醒來一切又回到原點。在西西弗斯式 (Sisyphean) 永無盡頭且徒勞無功的磨難後,我開始尋求自我救贖。過程中,內心幾經掙扎與煎熬,最後受到歐拉 (Leonhard Euler) 的幫助才得以稍稍減輕勞苦。我的三角恆等式救贖之道不過就是仰賴歐拉公式的助記術 (mnemonic,助記並不表示最後能夠記住)。這是著名的歐拉公式 (見“歐拉恆等式──最優美的數學定理”) , 其中 是實數,。下面是運用歐拉公式推導和差角公式、倍角公式、半角公式,以及冪簡約 (降冪) 公式的告白。

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2015 年大學指考數甲的線性代數問題

報載[1]:「大考中心審題老師說,相較數乙,數甲則是『平易近人』,近3年來最簡單,沒有複雜繁瑣的計算,只要題目讀過去,頭腦清楚就可以作答,預估五標都可能上升。」下面抄錄今年大學指考數學甲的一則線性代數問題 (2015 年大學指考數甲試題與解答)。 問題:考慮坐標平面上的直線 。若 為實數且二階方陣 所代表的線性變換可以將 上的點變換到一條斜率為 的直線,則 的值為下列哪一個選項? (1) 6 (2) 8 (3) 10 (4) 12 (5) 14

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2014 年大學指考數甲的線性代數問題

今年大學指考的數學甲試題比往年的難度大為提高,平易近人的基本觀念問題較少 (2014 年大學指考數甲試題)。補教老師說[1]:「今年數甲很多題目,以往考古題及學校模擬考都沒見過,恐怕有很多學生寫不完,程度好的學生也可能被考倒,試題反而缺乏鑑別度。」報導說:「多選題第八題最難,考『克拉碼公式』,是大學常用到的公式,但高中並不常見,計算耗時,連補教老師都花廿分鐘才解出答案。」下面抄錄這則最難的考題。   問題:考慮 的方程組 ,其中 為實數。請選出正確的選項: (1) 若 為此方程組的解,則 (2) 若 為此方程組的解,則 (3) 若 為此方程組的解,則 (4) 當 時,恰有一組 滿足此方程組 (5) 當 時, 滿足此方程組的所有解 會在一條直線上

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傻瓜的規則

有一位年輕的數學教授在一場大眾科普講座介紹數學的發展史。他談到古希臘人最先堅持數學必須討論抽象的概念,並用一些自明的真理為前提,稱為公設或公理。例如,兩個數的乘法具有交換律。若一個長方形的長是 公分,寬是 公分,則長方形的面積為 平方公分,或 平方公分。講到這裡順便露了一口洋文,他說數學家稱 和 為「factor」。 演講結束後,坐在後排的一位老太太起身發言:「乘法交換律根本是胡說八道。不能因為 等於 ,就說它們是同一回事。任何傻瓜訂個規則,就有笨蛋在意它[1]。」

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2013 年大學指考數乙的線性代數問題

早上讀報時看到今年大學指考的數學乙試題 (2013 年大學指考數乙試題),其中有一則線性代數問題,抄錄於下。   問題:已知二階方陣 滿足 ,。請選出正確的選項。 (1) 的行列式 (值) 為 6。 (2) (3) (4) (5)   解答:將給出的兩個式子合併為矩陣形式: , 解出 再代入各選項檢查即可。但如果不算出 ,我們能夠回答所有的問題嗎?

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不相干問題原則

在一所大學裡,抄襲別人作業的學生如被發現就要受到校規懲處,發現學生抄襲作業而不向教師舉報的助教將被立即解職。有一個助教想知道抄襲作業的學生占多大百分比,但他面臨兩個難題。第一,幾乎沒有人會告訴他哪些學生是抄襲者;第二,一旦教師得知他發現有某個學生抄襲作業卻未舉發,他就會失去工作。為了克服這兩個困難,他根據「不相干問題原則」(principle of the irrelevant question,從可能危害某些個體的母體中獲取相關資料的一種方法) 設計了一份問卷調查。

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等差級數和公式的無言證明

大概每一個人都聽說過德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 計算等差級數和的故事[1]。高斯十歲時,他的算術老師為了讓教室裡的小朋友安靜下來,靈機一動,便要求學生們計算 ,並且聲明算對的人就可先回家。不一會功夫,高斯走向老師,將他的小黑板放在講桌上。沒有任何算式,小黑板上寫著:。訝異的老師請高斯解釋答案從何而來,他說:「我發現數列存在這個模式 ,,,以此類推直到 。因為共有 組數對,總和必定是 。」今天的國中學生都知道下列等差級數和公式:對於每一正整數 , 。 這個公式有許多種證法,下圖是我最喜歡的一個「無言」證明[2]。

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