Category Archives: pow 向量空間

每週問題 April 18, 2016

證明子空間交集維數的一個不等式。 Let be an -dimensional vector space, and be subspaces in . If , show that .

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每週問題 April 4, 2016

若 ,則 的最大秩是多少? Let be an matrix and . What is the maximum value of ?

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每週問題 March 21, 2016

在有限維向量空間的任何一個線性獨立向量集都可擴大成為一組基底。 If is a finite-dimensional vector space and if is any set of linearly independent vectors in , prove that, unless already form a basis, we can find vectors so that is a basis.

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每週問題 March 14, 2016

證明維數定理:一個有限維向量空間的任兩組基底有相同的元素數。 Prove that the number of elements in any basis of a finite-dimensional vector space is the same as in any other basis.

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每週問題 February 29, 2016

證明一線性相關的多項式集合的一個充分條件。 Let be a subset of the vector space of all polynomials whose degrees do not exceed . If the polynomials in share a common root , then is linearly dependent.

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每週問題 December 14, 2015

這是可交換矩陣的秩不等式證明問題。 Let and be matrices. If , show that .

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每週問題 December 7, 2015

證明分塊上三角矩陣的秩不等式。 Let and be matrices. Show that for any matrix , .

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每週問題 November 30, 2015

若 同時是 的左逆與右逆,則 和 是同階方陣。 If and are two matrices such that and , show that .

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每週問題 October 12, 2015

這是計算兩個矩陣的行空間和與零空間交集的問題。 (a) Let be an matrix and be an matrix. Show that , where denotes the column space of . (b) Let be an matrix and be a matrix. Show that , where denotes the nullspace of .

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每週問題 August 24, 2015

給定 ,證明冪等 (idempotent) 矩陣 的等價性質。 Let be matrices such that . Prove that the following statements are equivalent. (a) for ; (b) are idempotent matrices, i.e., ; (c) .

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