Cayley-Hamilton 定理的一個錯誤「證明」

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在線性代數中,Cayley-Hamilton 定理可謂最令學者感到驚奇的定理之一:任一 n\times n 階矩陣 A 的特徵多項式 p(\lambda) 消滅 A,即 p(A)=0。以 n=2 為例,A=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix} 的特徵多項式為

\begin{aligned}  p(\lambda)&=\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}  a-\lambda&b\\  c&d-\lambda  \end{vmatrix}\\  &=\lambda^2-(a+d)\lambda+ad-bc,\end{aligned}

Cayley-Hamilton 定理宣稱

p(A)=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=0

Cayley-Hamilton 定理有很多種證法 (見“Cayley-Hamilton 定理”),但其中幾乎挑不出一個簡單的證明。底下這個看似快捷實乃錯誤的「證明」曾經不斷地被初學者重複發現:

因為 p(\lambda)=\det(A-\lambda I),將 A 取代 \lambda 可得

p(A)=\det(A-AI)=\det(A-A)=\det 0=0

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「零」究竟是有還是沒有?

2000年3月27日,交通大學舉辦「人文與科技三賢鼎談」,三賢是法鼓山聖嚴法師,交通大學校長張俊彥與清華大學校長劉炯朗。會中有一段談話,抄錄於下[1]

聖嚴法師:我到要請教一下,「零」究竟是有還是沒有?

張俊彥:也是有,也是沒有。無窮大也是有,也是沒有;無窮大好像存在,可是拿不到,所以也是有,也是沒有。

劉炯朗:非相非非相,假如用來解釋數學,零不是正,不是負。假如一被零除,就變成無窮大。把有限的分成零份,每份就變成無窮大。

聖嚴法師:在我的看法,零是有的,並不是等於沒有。當把零去掉了以後,才是真正的沒有。

劉炯朗:在數學上來講,沒有零,就無法建立一個完整的數學系統。

聖嚴法師:這個道理就是,當東西被量化時,它就一定是有的,而且也一定是有限的。

張俊彥:所以,零的發明是非常具關鍵性的。如果沒有這個零的話,甚麼都沒有;有了零,就甚麼都有了。

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反對角矩陣的特徵值

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A=[a_{ij}] 為一個 n\times n 階反對角矩陣 (anti-diagonal matrix)。例如,若 n=5

A=\begin{bmatrix}  &&&&a_{15}\\  &&&a_{24}&\\  &&a_{33}&&\\  &a_{42}&&&\\  a_{51}&&&&  \end{bmatrix}

如果不解出特徵多項式 \det(A-\lambda I) 的根,反對角矩陣是否有更快捷的特徵值算法?通過基底變換,我們可以設法使 A5 個反主對角元「集中」於主對角線附近,精確地說,A 相似於一個分塊對角矩陣。

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每週問題 May 16, 2016

證明兩個矩陣的秩差的不等式。

Let A and B be m\times n matrices. Show that

|\hbox{rank}A-\hbox{rank}B|\le \hbox{rank}(A-B).

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不說廢話──克拉瑪公式的證明

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You know that I write slowly. This is chiefly because I am never satisfied until I have said as much as possible in a few words, and writing briefly takes far more time than writing at length.
― Carl Friedrich Gauss

 
A=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n  \end{bmatrix} 為一個 n\times n 階矩陣且 \mathbf{b} 為一個 n 維行向量 (column vector)。若 A 是可逆的,克拉瑪公式 (Cramer’s rule) 給出線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的解 \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)^T,如下 (見“克拉瑪公式的證明”):

\displaystyle   x_i=\frac{\det A_i(\mathbf{b})}{\det A},~~i=1,\ldots,n

其中 A_i(\mathbf{b}) 表示以 \mathbf{b} 取代 A 的第 i 行 (即 \mathbf{a}_i) 而得的 n\times n 階矩陣,

A_i(\mathbf{b})=\begin{bmatrix}    ~&~&~&~&~&~&~\\    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_{i-1}&\mathbf{b}&\mathbf{a}_{i+1}&\cdots&\mathbf{a}_n\\    ~&~&~&~&~&~&~    \end{bmatrix}

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答王昭晴──關於線性代數之“線性”一詞的涵義

網友王昭晴留言:

老師您好,我最近在回顧過去所學的線性代數時開始有了一些問題。這些事過去不曾仔細思考過就當作一個名詞走馬看花的過去了。尤其是關於“線性”兩個字。為何要特別叫“線性”呢?我的意思是線性代數中一些定義會加註線性兩個字,例如線性向量空間 (linear vector space) 與方程式或者向量的線性組合 (linear combination)。為何要特別稱此二者為線性?難道有非線性的向量空間與非線性的組合嗎?而“線性”二字是否有除了線性方程式以外更深層的意思呢?還是說僅僅只是因為線性代數的發展是從線性方程式開始研究起,就稱作線性了呢?

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每週問題 May 9, 2016

A 是一個可逆非負矩陣且 A^{-1} 也是非負矩陣,則 A 有甚麼特殊性質?

Let A=[a_{ij}] be an n\times n non-negative matrix, i.e., a_{ij}\ge 0 for all i and j. If A is nonsingular and A^{-1} is a non-negative matrix as well, then A is a monomial matrix. Note that a nonsingular matrix A is monomial if A can be written as A=PD, where P is a permutation matrix and D is a nonsingular diagonal matrix.

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每週問題 May 2, 2016

證明正規方程 (normal equation) 是一致的,意指存在解。

Let A be an m\times n complex matrix. Show that for any \mathbf{b}\in\mathbb{C}^m, the normal equation A^\ast A\mathbf{x}=A^\ast\mathbf{b} is consistent, meaning that it has solutions.

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矩陣積 AB 之轉置公式的無言證明

給定一個 m\times n 階矩陣 A,我們定義 A 的轉置 A^Tn\times m 階矩陣,滿足 (A^T)_{ij}=(A)_{ji}。換句話說,將 A 的列行對調即得到 A^T,如下例:

A=\begin{bmatrix}  1&2&3\\  4&5&6  \end{bmatrix},~~A^T=\begin{bmatrix}  1&4\\  2&5\\  3&6  \end{bmatrix}

所謂矩陣的列行對調可以形象化解釋如下:設想你將矩陣 A 抄寫在一張 (半透明) 紙板上,左手抓住左上角,右手抓住右下角,以連接 (1,1) 元與 (m,n) 元的直線為轉軸翻轉紙板即得到 A^T,再翻轉一次便可回復 A。因此,(A^T)^T=A。若 AB 可乘,AB 的轉置公式為 (見“轉置與共軛轉置”)

(AB)^T=B^TA^T

底下提供一個無言證明 (proof without words)。

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每週問題 April 25, 2016

計算一個線性變換的跡數、行列式、特徵值與特徵向量。

Let \mathcal{V} be the vector space spanned by functions \cos(2x) and \sin(2x).
(a) Find the trace and determinant of the linear transformation D(f)=f' from \mathcal{V} to \mathcal{V}.
(b) Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of D.

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