## 每週問題 April 25, 2016

Let $\mathcal{V}$ be the vector space spanned by functions $\cos(2x)$ and $\sin(2x)$.
(a) Find the trace and determinant of the linear transformation $D(f)=f'$ from $\mathcal{V}$ to $\mathcal{V}$.
(b) Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of $D$.

## 二階方陣的平方根

$A$ 是一個 $n\times n$ 階矩陣。若同階矩陣 $B$ 使得 $B^2=A$，我們稱 $B$$A$ 的一個平方根。對角化是矩陣平方根的標準算法。若 $A$ 可對角化為 $A=SDS^{-1}$，其中 $S$ 是一個可逆矩陣，$D=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ 的主對角元 $\lambda_i$$A$ 的特徵值。若 $C$$D$ 的一個平方根，$C^2=D$，則 $B=SCS^{-1}$$A$ 的一個平方根。若 $A$ 有兩兩相異的非零特徵值，則存在 $2^n$ 個平方根 $B=S\,\hbox{diag}(\pm\sqrt{\lambda_1},\ldots,\pm\sqrt{\lambda_n})\,S^{-1}$。但如果 $A$ 有相重特徵值或 $\lambda_i=0$，取決於 $A$ 的 Jordan 典型形式，$A$ 可能不存在平方根，存在少於 $2^n$ 或無窮多個平方根。特別的，$2\times 2$ 階矩陣的平方根公式相當簡單，原因在於其逆矩陣、特徵值與特徵向量都有容易處理的代數式。

## 每週問題 April 18, 2016

Let $\mathcal{V}$ be an $n$-dimensional vector space, and $S_1, \ldots, S_k$ be subspaces in $\mathcal{V}$. If $\sum_{i=1}^k\dim S_i>n(k-1)$, show that $\bigcap_{1\le i\le k}S_i\neq\{\mathbf{0}\}$.

## 賦範向量空間

$\displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots)=x_1(1,0,0,\ldots)+x_2(0,1,0,\ldots)+\cdots=\sum_{i=1}^\infty x_i\mathbf{e}_i$

## 每週問題 April 11, 2016

Let $\mathcal{V}$ be a complex inner product space. Show that two vectors $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ in $\mathcal{V}$ are orthogonal if and only if

$\Vert \alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}\Vert^2=\Vert\alpha\mathbf{x}\Vert^2+\Vert\beta\mathbf{y}\Vert^2$

for all pairs of scalars $\alpha$ and $\beta$.

## 每週問題 April 4, 2016

$A^2=0$，則 $A$ 的最大秩是多少？

Let $A$ be an $n\times n$ matrix and $A^2=0$. What is the maximum value of $\hbox{rank}A$?

## 每週問題 March 28, 2016

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ nonzero matrices.
(a) If $A^2=B^2=0$, is it true that $A$ and $B$ are similar if and only if $\hbox{rank}A=\hbox{rank}B$?
(b) If $A^3=B^3=0$, is it true that $A$ and $B$ are similar if and only if $\hbox{rank}A=\hbox{rank}B$?

## 證明細解 2

$A$ 為一個 $n\times n$ 階矩陣。若存在同階矩陣 $A^{-1}$ 使得 $A^{-1}A=AA^{-1}=I$，則 $A$ 稱為可逆 (invertible) 矩陣。若 $A$$n$ 個線性獨立的行 (column) 與列 (row)，即滿秩，記作 $\hbox{rank}A=n$，則 $A$ 稱為非奇異 (nonsingular) 或非退化 (nondegenerate) 矩陣。可逆矩陣與非奇異矩陣是同義的。我們要證明可逆矩陣的一個充要條件：可逆矩陣不具備「毀滅性」的矩陣乘法，詳述於下列定理。

## 每週問題 March 21, 2016

If $\mathcal{V}$ is a finite-dimensional vector space and if $\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\}$ is any set of linearly independent vectors in $\mathcal{V}$, prove that, unless $\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\}$ already form a basis, we can find vectors $\mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p}$ so that $\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m,\mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p}\}$ is a basis.