每週問題 October 3, 2016

這是關於相合變換 (congruence transformation) 的問題。

Let A and B be n\times n Hermitian matrices. Suppose A is invertible. Show that there exists a nonsingular matrix P so that P^\ast AP and P^\ast BP are diagonal if and only if A^{-1}B is diagonalizable and all its eigenvalues are real.

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每週問題 September 26, 2016

若可對角化矩陣的特徵值皆為實數,則此矩陣可表示為正定矩陣與 Hermitian 矩陣之積。

Let A be a diagonalizable matrix with real eigenvalues. Show that A can be represented as A=BC, where B is a positive definite matrix and C is a Hermitian matrix.

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每週問題 September 19, 2016

這是關於半正定矩陣的二次型等於零的問題。

Let A be a real symmetric positive semidefinite matrix. If \mathbf{x}^TA\mathbf{x}=0, show that A\mathbf{x}=\mathbf{0}.

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每週問題 September 12, 2016

證明可交換矩陣的一個充要條件。

Let A and B be n\times n matrices. Suppose that the eigenvectors of A span \mathbb{C}^n and have distinct eigenvalues. Show that AB=BA if and only if A and B have the same set of eigenvectors (with possibly different eigenvalues).

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每週問題 September 5, 2016

推導 Tikhonov 正則化 (regularization) 的最佳解。

Let A be an m\times n real matrix and \mathbf{b}\in\mathbb{R}^m. Solve the Tikhonov regularization problem:

\displaystyle  \min_{\mathbf{x}}\Vert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\Vert_2^2+\lambda\Vert \mathbf{x}\Vert_2^2,

where \lambda>0.

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每週問題 August 29, 2016

證明 Sherman-Morrison-Woodbury 公式的一個特例。

Let A be an m\times m matrix, B be an n\times m matrix and C be an n\times n matrix. If A and C are symmetric positive definite, show the following identities.
(a) (A^{-1}+B^TC^{-1}B)^{-1}B^TC^{-1}=AB^T(BAB^T+C)^{-1}
(b) (A^{-1}+B^TC^{-1}B)^{-1}=A-AB^T(BAB^T+C)^{-1}BA

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每週問題 August 22, 2016

證明一個直覺命題:若一個子空間與線性變換的零空間不交集,則該子空間的像 (image) 的維數等於子空間的維數。

Let \mathcal{V} and \mathcal{W} be finite dimensional vector spaces, and T:\mathcal{V}\to\mathcal{W} be a linear transformation. For a subspace \mathcal{X} of \mathcal{V}, the image T(\mathcal{X})=\{T(\mathbf{x})|\mathbf{x}\in\mathcal{X}\} of \mathcal{X} under T is a subspace of \mathcal{W}. Prove that if \mathcal{X}\cap N(T)=\{\mathbf{0}\}, then \dim T(\mathcal{X})=\dim\mathcal{X}. Note that N(T) denotes the nullspace (kernel) of T.

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每週問題 August 15, 2016

為甚麼 \{\mathbf{0}\} 是一個線性相關集?

Let S=\{\mathbf{0}\} be the set containing only the zero vector.
(a) Explain why S must be linearly dependent.
(b) Explain why the empty set is a basis for S.

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每週問題 August 8, 2016

這是生成空間的一個等價性質。

For a set of vectors S=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}, prove that \hbox{span}(S) is the intersection of all subspaces that contain S.

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每週問題 August 1, 2016

利用冪等矩陣 (idempotent matrix) 計算分塊上三角矩陣的冪。

For the matrix

A=\begin{bmatrix}  1&0&0&1/3&1/3&1/3\\  0&1&0&1/3&1/3&1/3\\  0&0&1&1/3&1/3&1/3\\  0&0&0&1/3&1/3&1/3\\  0&0&0&1/3&1/3&1/3\\  0&0&0&1/3&1/3&1/3  \end{bmatrix},

determine A^{300}.

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