矩陣多項式

本文的閱讀等級:初級

\mathcal{P}_m 表示最高次為 m 的多項式所形成的集合。給定

\displaystyle    f(t)=a_mt^m+\cdots+a_1t+a_0\in\mathcal{P}_m

以及方陣 A,我們定義矩陣多項式

\displaystyle    f(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A+a_0I

例如,f(t)=2t^2-3t+5A=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&-1\\  2&0  \end{array}\!\!\right],矩陣多項式為

\displaystyle  f(A)=2\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&-1\\  2&0  \end{array}\!\!\right]^2-3\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&-1\\  2&0  \end{array}\!\!\right]+5\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rc}  0&1\\  -2&1  \end{array}\!\!\right]

這篇短文討論矩陣多項式的加法、純量乘法及一般乘法,並證明消滅多項式 (annihilating polynomial) 的存在性,即對於任一方陣 A,存在一多項式 f(t) 使得 f(A)=0

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每週問題 January 19, 2015

Let A be an n\times n matrix. If all entries of A and A^{-1} are integers, show that \det(A^2)=1.

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利用 Householder 變換證明 Schur 定理

本文的閱讀等級:中級

任何一個 n\times n 階矩陣 A 皆相似於一上三角形矩陣 T,其中 T 的主對角元為 A 的特徵值,且必存在一么正矩陣 (unitary matrix) U 滿足 U^\ast=U^{-1} (見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”),使得 U^\ast AU=T。簡單講,任一方陣皆么正相似於一上三角形矩陣,或者說任一方陣定可么正三角化,此事實稱為 Schur 定理。我們曾以 Gram-Schmidt 正交化程序設計了建構式證明 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”),本文介紹一個利用 Householder 變換的歸納證法。

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每週問題 January 12, 2015

這是二矩陣和的行列式推導問題。

Let A be an n\times n matrix. If A^TA=I and \det A<0, determine \det(A+I).

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答Eden──關於么正矩陣的冪

網友Eden留言:

老師您好,最近因為研究上發現 unitary 矩陣的一個現象:假設 A 為一個 n\times n 的 unitary 矩陣,Am 次方 (m 為某個 n 的倍數) 必定會變成單位矩陣。自己一直從 unitary 的特徵值 (特徵值大小都會是1) 變化去思考,但目前還是只知道次方項 m 會是 n 的倍數,想了解 mn 之間的確切關係。不知道老師對我提的問題是否清楚,方便給點提示或是思考方向之類的嗎?

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每週問題 January 5, 2015

這是2008年台大資訊所的碩士班入學試題。

Let \mathbf{u}=(1,-1,-1,1,1)^T. Determine (I+2\mathbf{u}\mathbf{u}^T)(I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)^{-1}\mathbf{u}.

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常態分布與二次型

本文的閱讀等級:中級

服從多變量常態分布 (normal distribution) 的隨機向量 (隨機變數組成的向量) \mathbf{x} 的機率密度函數完全由平均數向量 \boldsymbol{\mu}=E[\mathbf{x}] 和共變異數矩陣 \Sigma=\text{Cov}[\mathbf{x}] 決定,記為 \mathbf{x}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu},\Sigma)。若 \mathbf{z}=(z_1,\ldots,z_p)\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},I),我們說隨機向量 \mathbf{z} 服從標準化多變量常態分布,其中隨機變數 z_1,\ldots,z_p\sim\mathcal{N}(0,1) 相互獨立。本文討論具多變量常態分布的隨機向量所構成的二次型 \mathbf{x}^TA\mathbf{x},其中 A 是實對稱矩陣,並引介一個重要的統計分布──卡方分布 (chi-squared distribution)。本文的預備知識包括 (見“多變量常態分布”):

  • 期望值 E[\cdot] 是線性算子,共變異數矩陣 \Sigma 是半正定 (對稱) 矩陣。
  • 服從常態分布的隨機向量的仿射變換 (affine transformation) 也為常態分布。令 \mathbf{x} 為一 p 維隨機向量,且 \mathbf{x}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu},\Sigma)。若 \mathbf{y}=A\mathbf{x}+\mathbf{b},其中 Am\times p 階常數矩陣,\mathbf{b}m 維常數向量,則 \mathbf{y}\sim\mathcal{N}(A\boldsymbol{\mu}+\mathbf{b},A\Sigma A^T),即 E[\mathbf{y}]=A\boldsymbol{\mu}+\mathbf{b}\text{Cov}[\mathbf{y}]=A\Sigma A^T
  • \mathbf{x}\mathbf{y} 為二個隨機向量 (維數可不同)。若交互 (cross) 共變異數矩陣 \text{Cov}[\mathbf{x},\mathbf{y}]=E\left[(\mathbf{x}-E[\mathbf{x}])(\mathbf{y}-E[\mathbf{y}])^T\right]=0,則 \mathbf{x}\mathbf{y} 是獨立的隨機向量,反之亦然。

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每週問題 December 29, 2014

這是最小平方法應用於矩陣之線性變換的問題。

Let \mathbb{R}^{2\times 2} be the vector space formed by 2\times 2 real matrices. Let A=\begin{bmatrix}  1&2\\  0&1  \end{bmatrix} and B=\begin{bmatrix}  0&1\\  1&1  \end{bmatrix}. Consider the following transformation from \mathbb{R}^{2\times 2} to \mathbb{R}^{2\times 2}:

\displaystyle  T(X)=XA-AX.

Determine a matrix \hat{X} that minimizes \Vert T(\hat{X})-B\Vert_F, where \Vert\cdot\Vert_F denotes Frobenius norm.

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答William──關於凸包的映射問題

網友William留言:

老師,您好!我不是您的學生,但是又有一個問題苦無解決辦法,因此想向老師尋求協助。問題是這樣的:群組A內有 A_i(x_i,y_i)1\le i\le 5,五個點。其中 A_1A_2A_3A_4 為一矩形的四個端點,而 A_5 位於矩形的範圍內或邊線上。群組B內有 B_i(\hat{x}_i,\hat{y}_i)1\le i\le 5,五個點。現在假設存在一張對應表:A_i(x_i,y_i) 查表後的值為 B_i(\hat{x}_i,\hat{y}_i)1\le i\le 4,求 A_5(x_5,y_5) 查表後的值 B_5(\hat{x}_5,\hat{y}_5),並以 (x_i,y_i)1\le i\le 5,和 (\hat{x}_j,\hat{y}_j)1\le j\le 4,表示。我不知道這個問題是否適合由線性代數解決,也不曉得應該從哪裡下手。懇請老師提供意見。謝謝。

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每週問題 December 22, 2014

這是 Hermitian 矩陣的界定性質的證明問題。

Let A be an n\times n matrix. Show that if \mathbf{x}^\ast A\mathbf{x} is real for every \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n, then A^\ast=A.

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