每週問題 December 26, 2016

證明一個特殊非負矩陣的逆矩陣也是非負矩陣。

Let A be an n\times n real matrix. Show that A and A^{-1} have all elements nonnegative if and only if each row and each column of A has exactly one positive element and the rest of the elements are zeros.

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約束最小平方問題

本文的閱讀等級:中級

A 為一個 m\times n 階實矩陣,\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m。如果線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 是不一致的 (即不存在解),實務的作法是將線性方程問題改為最小平方近似問題:

\displaystyle \min_{\mathbf{x}}\Vert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\Vert^2

其中 \Vert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\Vert 是2-範數 (見“向量範數”),即 A\mathbf{x}\mathbf{b} 的歐幾里得距離。根據正交原則,最小平方解 \hat{\mathbf{x}} 滿足正規方程 (normal equation) A^TA\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b} (見“從線性變換解釋最小平方近似”)。若 \hbox{rank}A=n,也就是說 A 的行向量 (column vector) 構成一個線性獨立集合,則存在唯一的最小平方解

\displaystyle \hat{\mathbf{x}}=(A^TA)^{-1}A^T\mathbf{b}

如果最小平方解必須滿足某些限制條件,則稱為約束最小平方問題 (constrained least-squares problem)。本文討論兩種常出現在多種應用場合的約束形式。線性約束最小平方問題是指限制條件為線性方程:

\displaystyle \min_{C\mathbf{x}=\mathbf{d}}\Vert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\Vert^2

其中 C 是一個 p\times n 階實矩陣,\mathbf{d}\in\mathbb{R}^p。正則 (regularized) 最小平方問題限制未知向量的長度必須固定:

\displaystyle \min_{\Vert\mathbf{x}\Vert=d}\Vert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\Vert^2

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每週問題 December 19, 2016

線性相關的向量集的一道線性組合問題。

Let \mathcal{V} be a vector space, \dim\mathcal{V}=n, and let \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_m\in\mathcal{V}. Prove that if m\ge n+2, then there exist scalars c_1,\ldots,c_m not all of them equal to zero such that \sum_{i=1}^mc_i\mathbf{x}_i=\mathbf{0} and \sum_{i=1}^mc_i=0.

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每週問題 December 12 , 2016

這是關於半幻方 (semi-magic) 矩陣的分解式問題。

An n\times n matrix is said to be a semi-magic matrix if the sums of the rows and columns are all equal. Show that a semi-magic matrix A can be decomposed as A=B+C such that for integer k\ge 1,

A^k=B^k+C^k.

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每週問題 December 5, 2016

給定正整數 k,證明任一矩陣 A 可分解為 A=B(B^\ast B)^k

Let A be any n\times n complex matrix. Show that for each positive integer k there exists a unique matrix B such that A=B(B^\ast B)^k.

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每週問題 November 28, 2016

證明半正定矩陣的倒數矩陣為半正定的一個充要條件。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n Hermitian and positive semidefinite matrix and B=[b_{ij}] with the property b_{ij}=1/a_{ij}. Show that B is positive semidefinite if and only if \hbox{rank}A=1.

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答DJWS──關於以鏡射變換實現矩陣轉置

網友DJWS留言:

想請教老師一個問題:給定矩陣 A,使用一連串的鏡射變換,變成其轉置 A^T,該如何做呢?

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每週問題 November 21, 2016

證明兩個半正定矩陣之和的行列式大於或等於兩矩陣的行列式之和。

Let A and B be n\times n Hermitian and positive semidefinite matrices. Show that

\det(A+B)\ge \det A+\det B.

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每週問題 November 14, 2016

證明一個常見於多變量統計學的矩陣 I_m-A(A^{\ast}A)^{-1}A^\ast 是半正定。

Let m\ge n and let A be a complex m\times n matrix of rank n. Show that the Hermitian matrix B=I_m-A(A^{\ast}A)^{-1}A^\ast is positive semidefinite.

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每週問題 November 7, 2016

若一個 Hermitian 矩陣的主對角元為其特徵值,則此矩陣是對角矩陣。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n Hermitian matrix whose eigenvalues, including multiple appearances, are the diagonal elements a_{ii}, i=1,\ldots,n. Prove that A is diagonal.

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