每週問題 March 23, 2015

證明排列矩陣 (permutation matrix) 的轉置即為其逆矩陣。

A permutation matrix is a matrix that has exactly one 1 in each row and each column, and all entries elsewhere are 0. Show that any permutation matrix is invertible and its inverse is equal to its transpose.

繼續閱讀

張貼在 pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | 標記 | 4 則迴響

每週問題 March 16, 2015

這是應用 Jordan 形式的證明問題。

Prove that that is no 2\times 2 matrix A such that A^2=\begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix}.

繼續閱讀

張貼在 pow 典型形式, 每週問題 | 標記 | 發表留言

每週問題 March 9, 2015

試寫出所有可能的四階冪零矩陣 (nilpotent) 的 Jordan 形式。

Determine all possible Jordan forms for a 4 \times 4 nilpotent matrix.

繼續閱讀

張貼在 pow 典型形式, 每週問題 | 標記 , | 發表留言

可對角化矩陣的譜分解──續篇

本文的閱讀等級:中級

A 為一 n\times n 階可對角化矩陣,\lambda_1,\ldots,\lambda_m (m\le n) 為相異特徵值,也稱作矩陣譜 (spectrum)。若 A 是可對角化矩陣,譜定理 (spectrum theorem) 宣稱下列譜分解式唯一存在:

\displaystyle  A=\lambda_1P_1+\cdots+\lambda_mP_m

其中 P_i 稱為對應特徵值 \lambda_i 的譜投影算子 (矩陣),表達式為 (見“可對角化矩陣的譜分解”)

\displaystyle    P_i=\prod_{j\neq i}\left(\frac{A-\lambda_jI}{\lambda_i-\lambda_j}\right)

並具有以下性質:

  • P_i 是沿著 A-\lambda_iI 的行空間 (column space) C(A-\lambda_iI) 至零空間 (nullspace) N(A-\lambda_iI) 的投影矩陣,即冪等矩陣 (idempotent matrix),滿足 P_i^2=P_i
  • i\neq jP_iP_j=0
  • P_1+\cdots+P_m=I

本文證明譜定理的反向命題:若 A=\lambda_1P_1+\cdots+\lambda_mP_m,其中 \lambda_1,\ldots,\lambda_m 為相異數,P_1,\ldots,P_m 為非零矩陣並滿足 P_iP_j=0i\neq j,及 P_1+\cdots+P_m=I,則 A 是可對角化矩陣。為方便閱讀,我將證明過程切割成數個與譜投影矩陣 P_i 相關的性質。

繼續閱讀

張貼在 特徵分析, 主題專欄 | 標記 , | 發表留言

每週問題 March 2, 2015

這是關於實正交矩陣的特徵向量性質。

Let A be a real orthogonal matrix, i.e., A is real and AA^T=A^TA=I. Let \lambda be an eigenvalue of A and \mathbf{z}=\mathbf{x}+i\mathbf{y} be a corresponding eigenvector, where \mathbf{x} and \mathbf{y} are real vectors. If \lambda is not real, show that \mathbf{x}^T\mathbf{y}=0 and \mathbf{x}^T\mathbf{x}=\mathbf{y}^T\mathbf{y}.

繼續閱讀

張貼在 pow 內積空間, 每週問題 | 標記 | 發表留言

每週問題 February 23, 2015

這是利用內積空間的基底表達二向量內積的問題。

If \{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_n\} is an orthonormal basis for an inner-product space \mathcal{V}, show that

\displaystyle  \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=\sum_{i=1}^n\left\langle\mathbf{x},\mathbf{u}_i\right\rangle\left\langle\mathbf{u}_i,\mathbf{y}\right\rangle

for every \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}.

繼續閱讀

張貼在 pow 內積空間, 每週問題 | 標記 , | 發表留言

每週問題 February 16, 2015

這是關於線性獨立的左特徵向量集問題。

Let \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k\} be a set of linearly independent eigenvectors for an n\times n matrix A corresponding to respective eigenvalues \lambda_1,\ldots,\lambda_k. Let X be any n\times (n-k) matrix such that S=\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_k&X  \end{bmatrix} is nonsingular. Show that if S^{-1}=\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1^\ast\\  \vdots\\  \mathbf{y}_k^\ast\\  Y^\ast  \end{bmatrix}, where \mathbf{y}_i^\ast are 1\times n and Y^\ast is (n-k)\times n, then \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_k\} is a set of linearly independent left eigenvectors associated with \lambda_1,\ldots,\lambda_k, respectively, i.e., \mathbf{y}_i^\ast A=\lambda_i\mathbf{y}_i^\ast, 1\le i\le k.

繼續閱讀

張貼在 pow 特徵分析, 每週問題 | 標記 | 發表留言

每週問題 February 9, 2015

證明一特殊矩陣的2-範數等於 Frobenius 範數。

If \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n such that \mathbf{v}^T\mathbf{u}=1, show that

\displaystyle  \Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_2=\Vert\mathbf{u}\Vert \Vert\mathbf{v}\Vert=\Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_F,

where \Vert\cdot\Vert_2 is the 2-norm and \Vert\cdot\Vert_F is the Frobenius norm.

繼續閱讀

張貼在 pow 二次型, 每週問題 | 標記 , , | 發表留言

每週問題 February 2, 2015

本週問題關於 Cayley 變換。

Let A be a skew Hermitian matrix. Show that Cayley transformation

\displaystyle  U=(I-A)(I+A)^{-1}=(I+A)^{-1}(I-A)

is a unitary matrix.

繼續閱讀

張貼在 pow 內積空間, 每週問題 | 標記 , , | 發表留言

每週問題 January 26, 2015

證明 n\times n 階對合矩陣 (involutory matrix) 與冪等矩陣 (idempotent matrix) 具有一對一的關係。

A matrix satisfying A^2=I is said to be an involutory matrix, and a matrix B satisfying B^2=B is said to be an idempotent matrix. Show that there is a one-to-one correspondence between the set of n\times n involutory matrices and the set of n\times n idempotent matrices.

繼續閱讀

張貼在 pow 內積空間, 每週問題 | 標記 , , | 發表留言