## 旋轉與鏡射

$A$ 為一 $n\times n$ 階實矩陣。若 $A^TA=AA^T=I$，即 $A^T=A^{-1}$，我們稱 $A$ 為正交 (orthogonal) 矩陣。令 $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ 為正交矩陣 $A$ 的行向量 (column vector)，$A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}$。因此，$(A^TA)_{ij}=\mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=(I)_{ij}$，即 $\mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=1$$i=j$$\mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=0$$i\neq j$。正交矩陣的行向量組成一標準正交集 (orthonormal set)。因為 $A$ 是實矩陣，$A^\ast=A^T$，正交矩陣是一種特殊的么正 (unitary) 矩陣，其界定條件為 $A^\ast A=AA^\ast=I$。正交矩陣繼承么正矩陣的性質，正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (證明見“等距同構與么正矩陣”)：

1. 對於任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$$(A\mathbf{x})^T(A\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{y}$
2. 對於任一 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$$\Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$
3. 對於任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$$\Vert A\mathbf{x}-A\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$

## 每週問題 August 10, 2015

$A,B$ 是非零矩陣，$AB=0$ 可推論出甚麼結果？

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ nonzero matrices. If $AB=0$, show that $A$ and $B$ are singular.

## 每週問題 August 3, 2015

Let $A$ be an $n\times n$ matrix. If $AB\neq 0$ for any $n\times n$ nonzero matrix $B$, show that $A$ is nonsingular.

## 每週問題 July 27, 2015

Prove that there is no nonsingular matrix $P$ such that $PAP^{-1}=A^T$ for every $n\times n$ matrix $A$, $n\ge 2$.

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## 每週問題 July 20, 2015

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ matrices, $n\ge 2$. We say that $A$ and $B$ are equivalent if there exist nonsingular matrices $P$ and $Q$ such that $B=PAQ$. Show that every $n\times n$ matrix $M$ is equivalent to a matrix $D$ where all diagonal elements are zero.

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## 每週問題 July 13, 2015

Let $A$ be an $n\times n$ nonsingular matrix such that $A^k=A^\ast$ for some $k>1$. Show that $A^{k+1}=I$.

## 每週問題 July 6, 2015

Let $A$ be an $n\times n$ matrix with all eigenvalues equal to 1 in absolute value. Show that $A$ is a unitary matrix if, for all $\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n$,

$\displaystyle \Vert A\mathbf{x}\Vert\le\Vert\mathbf{x}\Vert$.

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