旋轉與鏡射

本文的閱讀等級:中級

A 為一 n\times n 階實矩陣。若 A^TA=AA^T=I,即 A^T=A^{-1},我們稱 A 為正交 (orthogonal) 矩陣。令 \mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n 為正交矩陣 A 的行向量 (column vector),A=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n  \end{bmatrix}。因此,(A^TA)_{ij}=\mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=(I)_{ij},即 \mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=1i=j\mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=0i\neq j。正交矩陣的行向量組成一標準正交集 (orthonormal set)。因為 A 是實矩陣,A^\ast=A^T,正交矩陣是一種特殊的么正 (unitary) 矩陣,其界定條件為 A^\ast A=AA^\ast=I。正交矩陣繼承么正矩陣的性質,正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (證明見“等距同構與么正矩陣”):

  1. 對於任意 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n(A\mathbf{x})^T(A\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{y}
  2. 對於任一 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert
  3. 對於任意 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n\Vert A\mathbf{x}-A\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert

本文討論兩種主要的正交矩陣:旋轉與鏡射,並解說兩者之間的相互表達。為便利說明,我們將使用下列預備知識。假設 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\mathbf{x}\neq\mathbf{0}。使用性質2,\Vert \mathbf{x}\Vert=\Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert\lambda\mathbf{x}\Vert=\vert\lambda\vert \Vert\mathbf{x}\Vert,即得 \vert\lambda\vert=1,故正交矩陣的特徵值的絕對值等於 1。正交矩陣歸屬正規 (normal) 矩陣,即 A^\ast A=AA^\ast,因此擁有完整的 n 個標準正交特徵向量 (見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”)。若 AB 是同大小的正交矩陣,則 (AB)^T(AB)=B^TA^TAB=B^TB=I,得知 AB 也是正交矩陣。

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每週問題 August 10, 2015

A,B 是非零矩陣,AB=0 可推論出甚麼結果?

Let A and B be n\times n nonzero matrices. If AB=0, show that A and B are singular.

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每週問題 August 3, 2015

這是判定可逆矩陣的問題。

Let A be an n\times n matrix. If AB\neq 0 for any n\times n nonzero matrix B, show that A is nonsingular.

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基本矩陣運算的定義

本文的閱讀等級:初級

德國數學家希爾伯特 (David Hilbert) 說[1]:「一個數學理論不被認為是完整的,直到你可以說得很清楚──你能解釋給第一個在街上相遇的人聽。」長久以來,這個問題一直困擾著許多線性代數初學者:基本矩陣運算,包括矩陣加法、純量乘法以及矩陣乘法,是如何被定義出來的?基本矩陣運算的數學原因既不是商業機密亦非神祕主義,矩陣與其基本運算源自於線性代數的核心運轉機制──線性變換。定義於有限維向量空間 (譬如,實向量空間 \mathbb{R}^2,複向量空間 \mathbb{C}^3) 的線性變換可以用矩陣表示,矩陣加法、純量乘法以及矩陣乘法對應線性變換的加法、純量乘法以及複合 (composition)。換句話說,線性變換涉及的所有計算工作都可以透過矩陣運算實現。有別於一般基礎線性代數教科書直接給出計算公式,本文從線性變換觀點定義基本矩陣運算,並利用此定義證明相關的運算法則。

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每週問題 July 27, 2015

證明不存在恆定相似變換矩陣使任一矩陣相似於其轉置。

Prove that there is no nonsingular matrix P such that PAP^{-1}=A^T for every n\times n matrix A, n\ge 2.

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外出休假

即日起外出休假,七月下旬返回,此期間暫停發文或將延後回覆。今預先張貼二則每週問題。

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每週問題 July 20, 2015

這是等價矩陣的問題。

Let A and B be n\times n matrices, n\ge 2. We say that A and B are equivalent if there exist nonsingular matrices P and Q such that B=PAQ. Show that every n\times n matrix M is equivalent to a matrix D where all diagonal elements are zero.

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每週問題 July 13, 2015

這是運用正規矩陣的一個證明問題。

Let A be an n\times n nonsingular matrix such that A^k=A^\ast for some k>1. Show that A^{k+1}=I.

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每週問題 July 6, 2015

這是么正矩陣 (或稱酉矩陣,unitary matrix) 的一個界定性質。

Let A be an n\times n matrix with all eigenvalues equal to 1 in absolute value. Show that A is a unitary matrix if, for all \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n,

\displaystyle  \Vert A\mathbf{x}\Vert\le\Vert\mathbf{x}\Vert.

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2015 年大學指考數甲的線性代數問題

報載[1]:「大考中心審題老師說,相較數乙,數甲則是『平易近人』,近3年來最簡單,沒有複雜繁瑣的計算,只要題目讀過去,頭腦清楚就可以作答,預估五標都可能上升。」下面抄錄今年大學指考數學甲的一則線性代數問題 (2015 年大學指考數甲試題與解答)。

問題:考慮坐標平面上的直線 L:3x-2y=1。若 a 為實數且二階方陣 \left[\!\!\begin{array}{cr}  1&0\\  a&-8  \end{array}\!\!\right] 所代表的線性變換可以將 L 上的點變換到一條斜率為 2 的直線,則 a 的值為下列哪一個選項?

(1) 6
(2) 8
(3) 10
(4) 12
(5) 14

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