每週問題 March 21, 2016

在有限維向量空間的任何一個線性獨立向量集都可擴大成為一組基底。

If \mathcal{V} is a finite-dimensional vector space and if \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\} is any set of linearly independent vectors in \mathcal{V}, prove that, unless \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\} already form a basis, we can find vectors \mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p} so that \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m,\mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p}\} is a basis.

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證明細解 1

本文的閱讀等級:初級

表面上,數學證明是演繹法的舞台,但本質上,數學證明是一門具有歸納性質的實驗科學活動。面對數學證明問題,我們不僅希望了解各種可能的證明方法,還試圖理解這些證法背後的動機與思維。美國數學家波利亞 (George Polya) 在其名著《怎樣解題》(How to Solve It) 主張數學解題 (包括證明) 過程可分為下列四個階段。

  1. 了解問題:要知道未知數是什麼?已知數是什麼?條件是什麼?
  2. 擬定計畫:找出已知數與未知數之間的關係。如果這個關係不是很明確,可以嘗試考慮類似的問題。最後,我們應該能想出解題的計畫。
  3. 執行計畫:將解題計畫付諸實現,仔細檢查每一個步驟。
  4. 驗算與回顧:驗算所得的解答,檢驗每一個論證步驟是否正確。

我們按照波利亞的指點練習如何通過有效的提問激發想法,從而構思出證明計畫,跨越障礙直達問題的核心。從實踐面來看,最為困難的證明階段在於擬定計畫。我想到的一個應對方法是細解一些線性代數定理的精彩證明,以探索法 (heuristic) 對論證推理的每一個步驟作徹底的研究。

 
定理. 令 ABn\times n 階矩陣。若 \hbox{rank}(AB-BA)=1,則 (AB-BA)^2=0

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反證法與逆否命題法

本文的閱讀等級:中級

英國數學家哈代 (G. H. Hardy) 說[1]:「歐幾里得喜好的歸謬法是數學家最精良的武器之一。它比起棋手所用的任何戰術還要好:棋手可能需要犧牲一個卒子或其他棋子,但數學家提供整個遊戲。」歸謬法 (reductio ad absurdum) 是一種間接論證方式,先假設某個命題不成立,然後推理出矛盾、不符合已知的事實或荒謬的結果,從而論斷該命題成立。在命題易於作否定陳述,假設條件僅提供少量訊息,或缺乏明確的直接證明思路時,歸謬法便可派上用場。反證法 (proof by contradiction) 是狹義的歸謬法,兩者的差別在於反證法只限於推理出邏輯上矛盾的結果。因此,反證法經常應用於證明數學定理。具體地說,我們要證明一個陳述「若 PQ」,記為 P\to Q,其中 P 是條件,Q 是命題,也就是說,PQ 的一個充分條件,QP 的一個必要條件。反證法假定 P\neg Q (非 Q) 同時成立,然後設法推論出 \neg R。但 R 是某個已知的事實或條件,這樣就得到一個矛盾 R\wedge\neg R。在反證法中,R 可以是 \neg QP,或其他已知的事實或條件。如果 R=\neg Q,反證法要證明 P\wedge\neg Q\to \neg(\neg Q),即 P\wedge\neg Q\to Q。如果 R=P,反證法要證明 P\wedge\neg Q\to\neg P

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每週問題 March 14, 2016

證明維數定理:一個有限維向量空間的任兩組基底有相同的元素數。

Prove that the number of elements in any basis of a finite-dimensional vector space is the same as in any other basis.

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向量空間與實例

本文的閱讀等級:初級

法國數學家龐加萊 (Henri Poincaré) 說[1]:「數學是給予不同東西相同的名稱的一門藝術。」19世紀末矩陣理論建立後,數學家發現許多與矩陣差異頗大的數學實體在本質上其實非常相似。舉例來說,歐幾里得空間 \mathbb{R}^3 是一個由點 (x_1,x_2,x_3) 組成的集合,其中 x_i 為實數。在歐氏幾何中,我們可以計算兩個點之和 (兩個向量相加),伸縮連接原點與一個點的線段 (一個向量與一個數相乘)[2]。多項式集合 \mathcal{P}_n 由最高次數為 n 的多項式組成,我們可以計算兩個多項式之和,一個多項式可與一個數相乘。不僅如此,這些不同的數學實體在加法以及與純量的乘法運算上和矩陣有著相同的性質。因此,與其分別研究這些數學主題,不如根據它們共有的性質統合在一起研究來得有效率。最終,數學家以抽象的公理化方式定義出一個數學結構,稱為向量空間。任何一個數學實體只要滿足這些規範都可歸類為向量空間。在數學中,空間一詞並不單獨存在,我們可以稱 X 是一個集合,但不稱 X 是一個空間。粗淺地說,空間是一個賦予某種數學結構的集合,該數學結構決定空間的名稱。向量空間是一種代數結構,線性變換 (或稱線性映射) 是兩個向量空間之間的一種特殊映射,因此向量空間也稱為線性空間,意即線性變換所在的空間。請注意,我們定義的是向量空間,而非向量。任何一個向量空間的元素都稱為向量,因此本文指稱的向量是幾何向量的推廣。

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每週問題 March 7, 2016

Schwarz 不等式的等號成立的一個充要條件為兩個向量是線性相關的。

Let \mathbf{x} and \mathbf{y} be vectors in an inner product space, and \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle denote the inner product of \mathbf{x} and \mathbf{y}. Prove that if \vert\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle\vert=\Vert\mathbf{x}\Vert\cdot\Vert\mathbf{y}\Vert (that is, the Schwarz inequality reduces to an equality), then \mathbf{x} and \mathbf{y} are linearly dependent.

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每週問題 February 29, 2016

證明一線性相關的多項式集合的一個充分條件。

Let S=\{p_0(x),p_1(x),\ldots,p_n(x)\} be a subset of the vector space of all polynomials whose degrees do not exceed n. If the polynomials in S share a common root r, then S is linearly dependent.

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如何學好線性代數?

線性代數是美國數學教授哈爾莫斯 (Paul R. Halmos) 的專長,他在26歲時出版了一本經典教材《有限維向量空間》(Finite-Dimensional Vector Spaces)。哈爾莫斯在回憶錄《我要做數學家》(I Want to Be a Mathematician) 談到他第一次學習線性代數的慘痛經驗[1]

代數課很難,我讀得很生氣。…當我說生氣,我是真的生氣。Brahana 不知道如何說清楚,我們的教材是 Bôcher 的書 (我認為寫得一團糟),我花在這個科目的多數時間裡,我的主要情緒惱火達到憤怒。…不知怎麼的,我的線性代數導論最後倖存下來。過了四、五年,在我取得博士學位,聽了諾伊曼 (von Neumann) 講的算子理論後,我才真正開始明白這個科目到底在講什麼。

 
為甚麼線性代數這麼難?從哈爾莫斯說的這段話可以歸結出兩個原因:一是老師很爛,二是課本很糟。如果學習一門科目的兩個重要 (必要?) 條件不是爛就是糟,我們還冀望學好它嗎?不過話說回來,即使哈爾莫斯的線性代數啟蒙老師是數學大師諾伊曼,哈爾莫斯未必當下就能真正明白線性代數在講什麼。我說的真正明白不是指考試拿高分,而是有一天你在洗澡時豁然開悟,奔出浴室光著身子在馬路上邊跑邊叫:「啊哈!我明白了!」老實講,我不認為有那個老師或那本教科書可以讓學生「第一次學線代就上手」。真正全面性的理解線性代數需要時間,需要勤奮練習與堅持思考。

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無限維向量空間的基底

本文的閱讀等級:中級

向量空間 \mathcal{V} 的一組基底是一個向量集合 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\},滿足兩個條件 (見“基底與維數常見問答集”):

  1. \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是一個線性獨立集,即 c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n=\mathbf{0} 蘊含 c_1=\cdots=c_n=0
  2. \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 生成 (span) \mathcal{V},即任何一個向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 可表示為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合,\mathbf{x}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n

若基底是一個有限集,則 \mathcal{V} 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。任何一個有限維向量空間都存在一組基底,維數定理 (dimension theorem) 聲明:有限維向量空間的任一組基底包含的向量數等於其他任何基底的向量數 (證明見[1],為了不中斷討論,證明都放在文末的註解)。根據維數定理,有限維向量空間 \mathcal{V} 的維數定義為任何一組基底的基數 (cardinal number,集合的元素數),記為 \dim\mathcal{V}。例如,\mathbb{R}^n 是所有的 n 維實向量 \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n) 構成的向量空間,標準基底為 \{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\},其中 \mathbf{e}_i 是標準單位向量 (第 i 元為 1,其餘元為 0),故 \dim\mathbb{R}^n=n。另外,\mathcal{P}_n 是所有的次數不大於 n 的複係數多項式 p(t)=\sum_{k=0}^n a_kt^k 構成的向量空間,標準基底為 \{1,t,\ldots,t^n\},因此 \dim\mathcal{P}_n=n+1。下面列舉幾個無限維向量空間[2]\mathcal{P} 是複係數多項式 p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+\cdots 構成的向量空間;\mathbb{R}^\infty 是實序列 (x_1,x_2,\ldots),或寫成 \{x_i\},構成的向量空間;\mathcal{C}[0,1] 是定義於區間 [0,1] 的連續函數構成的向量空間。本文要討論問題是:任何一個無限維向量空間都存在一組基底嗎?

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每週問題 February 22, 2016

改變三個矩陣乘積順序,特徵值是否改變?

Let A, B, and C be n\times n matrices.
(a) Is it true that ABC, BCA, and CAB have the same eigenvalues?
(b) Is it true that ABC and CBA have the same eigenvalues?

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