每週問題 July 18, 2016

這是關於反對稱矩陣 (skew symmetric matrix) 與反 Hermitian 矩陣的問題。

Prove that each of the following statements is true.
(a) If A=[a_{ij}] is skew symmetric, then a_{ii}=0 for each i.
(b) If A=[a_{ij}] is skew Hermitian, then each a_{ii} is a pure imaginary number.
(c) If A is real and symmetric, then B=\mathrm{i}A is skew Hermitian, where \mathrm{i}=\sqrt{-1}.

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每週問題 July 11, 2016

判定一個齊次系統的自由變數 (free variable) 的數目。

Suppose that A is the coefficient matrix for a homogeneous system of four equations in six unknowns and suppose that A has at least one nonzero row.
(a) Determine the fewest number of free variables that are possible.
(b) Determine the maximum number of free variables that are possible.

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每週問題 July 4, 2016

這是關於列梯形式 (row echelon form) 的問題。

Suppose that \begin{bmatrix}  A|\mathbf{b}\end{bmatrix} is reduced to a matrix \begin{bmatrix}  E|\mathbf{c}  \end{bmatrix}.
(a) Is \begin{bmatrix}  E|\mathbf{c}  \end{bmatrix} in row echelon form if E is?
(b) If \begin{bmatrix}  E|\mathbf{c}  \end{bmatrix} is in row echelon form, must E be in row echelon form?

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每週問題 June 27, 2016

給定不可逆矩陣 A,線性方程 A^T\mathbf{x}=\mathbf{b} 是否可能有唯一解?

Let A be an n\times n matrix. If A\mathbf{x}=\mathbf{0} has nonzero solutions, is it possible that A^T\mathbf{x}=\mathbf{b} has a unique solution for some vector \mathbf{b}?

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每週問題 June 20, 2016

計算一個線性變換的秩。

Let \{\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2,\mathbf{q}_3\} be an orthonormal set in \mathbb{R}^3 and \mathbf{q}_3 be the cross product of \mathbf{q}_1 and \mathbf{q}_2, i.e., \mathbf{q}_3=\mathbf{q}_1\times\mathbf{q}_2. A linear transformation T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 is defined by

T(\mathbf{x})=\mathbf{x}\times \mathbf{q}_1+(\mathbf{q}_2^T\mathbf{x})\mathbf{q}_1.

Determine the rank of T.

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每週問題 June 13, 2016

本週問題是推導兩個座標系統的變換矩陣。

Let \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k\} and \boldsymbol{\gamma}=\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_k\} be bases for a subspace \mathcal{V} in \mathbb{R}^n. Let X=\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_k  \end{bmatrix} and Y=\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1&\cdots&\mathbf{y}_k  \end{bmatrix}. Show that the change of coordinates matrix from \boldsymbol{\beta} to \boldsymbol{\gamma} is

P=(Y^TY)^{-1}Y^TX.

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每週問題 June 6, 2016

若線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 是一致的,則 A^\ast 的行空間 (column space) 存在唯一一個解。

Let A be an m\times n complex matrix. If A\mathbf{x}=\mathbf{b} is consistent for some \mathbf{b}, prove that there exists a unique solution \mathbf{x} in the column space of A^\ast.

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每週問題 May 30, 2016

一個線性方程的解集合所包含的最大線性獨立向量數是多少?

Let A be an m\times n matrix and S be the solution set for a consistent system of linear equations A\mathbf{x}=\mathbf{b} for some \mathbf{b}\neq\mathbf{0}.
(a) If S_{\max} is a maximal independent subset of S and \mathbf{x}_p is any particular solution, show that

\hbox{span}(S_{\max})=\hbox{span}\{\mathbf{x}_p\}+N(A),

where N(A) denotes the nullspace of A.
(b) If \hbox{rank}A=r, show that A\mathbf{x}=\mathbf{b} has at most n-r+1 independent solutions.

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每週問題 May 23, 2016

這是關於矩陣秩的擾動問題。

Let A and B be m\times n matrices. If \hbox{rank}A=r and \hbox{rank}B=k\le r, show that

r-k\le \hbox{rank}(A+B)\le r+k.

In words, a perturbation of rank k can change the rank by at most k.

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Cayley-Hamilton 定理的一個錯誤「證明」

本文的閱讀等級:初級

在線性代數中,Cayley-Hamilton 定理可謂最令學者感到驚奇的定理之一:任一 n\times n 階矩陣 A 的特徵多項式 p(\lambda) 消滅 A,即 p(A)=0。以 n=2 為例,A=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix} 的特徵多項式為

\begin{aligned}  p(\lambda)&=\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}  a-\lambda&b\\  c&d-\lambda  \end{vmatrix}\\  &=\lambda^2-(a+d)\lambda+ad-bc,\end{aligned}

Cayley-Hamilton 定理宣稱

p(A)=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=0

Cayley-Hamilton 定理有很多種證法 (見“Cayley-Hamilton 定理”),但其中幾乎挑不出一個簡單的證明。底下這個看似快捷實乃錯誤的「證明」曾經不斷地被初學者重複發現:

因為 p(\lambda)=\det(A-\lambda I),將 A 取代 \lambda 可得

p(A)=\det(A-AI)=\det(A-A)=\det 0=0

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