AB 相似於 BA 的充要條件

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ABn\times n 階矩陣。矩陣乘積 ABBA 有相同的特徵值 (包含相重特徵值),但並不總是相似。例如,A=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&0  \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix},則 AB=\begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix}BA=\begin{bmatrix}  0&0\\  0&0  \end{bmatrix} 的特徵多項式同為 p(t)=t^2。觀察出 AB 不可對角化而 BA 可對角化,表明 ABBA 不具相似性。本文介紹 AB 相似於 BA 的一個充分與必要條件:\text{rank}(AB)^k=\text{rank}(BA)^kk=1,2,\ldots,n,並討論幾個相似性的判定方式 (充分條件)。

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每週問題 June 22, 2015

本週問題是證明正交變換的一些性質。

Let T be a linear operator on an inner product space \mathcal{V} of dimension n. If T is an orthogonal transformation, i.e., \left\langle T(\mathbf{x}),T(\mathbf{y})\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle, for every \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}, prove the following statements.

(a) \Vert T(\mathbf{x})\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert for every \mathbf{x}\in\mathcal{V}.
(b) \vert \lambda\vert=1 for every eigenvalue of T.
(c) If \{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_n\} is an orthonormal set for \mathcal{V}, then so is \{T(\mathbf{u}_1),\ldots,T(\mathbf{u}_n)\}.
(d) The matrix representation A of T under an orthonormal basis for \mathcal{V} is a unitary matrix, i.e., A^\ast A=AA^\ast=I.

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答Vahi Chen──關於矩陣的轉置的線性變換表示矩陣

網友Vahi Chen留言:

周老师,您好!向您请教一个问题。我们知道:

  1. 线性变换可以表示为矩阵的乘积;
  2. 矩阵的转置是一个线性函数;
  3. 不存在一个矩阵 M,使得对于任意一个矩阵 A,都有 MA=A^T

但若给定一个矩阵 A,我们是否总能找到一个矩阵 M,使其满足 MA=A^T?而显然答案是否定的。考虑 M\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\end{bmatrix},满足该等式的 M 并不存在。所以,我的疑问是既然矩阵转置是线性函数,而线性函数又可以表示为矩阵的乘积,但针对上述的特例,这样的矩阵却有可能不存在。“可以表示”和“有可能不存在”这两者是否互为矛盾,或者这二者之间存在怎样的一种联系?是否可以说:“线性变换并不总是能表示为矩阵的乘积,因为这样的矩阵可能并不存在”?

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每週問題 June 15, 2015

這是正規矩陣 (normal matrix) 的界定問題:若 A 的任一特徵向量是 A^\ast 的特徵向量,則 A 是正規矩陣,反之亦然。

Let A be an n\times n matrix. Show that A is normal if and only if any eigenvector of A is an eigenvector of A^\ast.

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冪矩陣的特徵值與特徵向量

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An\times n 階矩陣,\lambda_1,\ldots,\lambda_n 為特徵值 (包含相重特徵值),\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 為對應的特徵向量。如果已知 A 的所有特徵值和對應的特徵向量,我們能否找出冪矩陣 A^kk\ge 1,的所有特徵值和對應的特徵向量?使用 A\mathbf{x}_i=\lambda_i\mathbf{x}_i,計算可得

\displaystyle\begin{aligned}  A^k\mathbf{x}_i&=A^{k-1}(A\mathbf{x}_i)=A^{k-1}(\lambda_i\mathbf{x}_i)  =\lambda_iA^{k-2}(A\mathbf{x}_i)\\  &=\lambda_i^2A^{k-2}\mathbf{x}_i=\cdots=\lambda_i^k\mathbf{x}_i,  \end{aligned}

故知 A^k 有特徵值 \lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k,對應的特徵向量是 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n。這個結果是否表示我們已經找齊了 A^k 的特徵值與對應的特徵向量?看下面的例子:

\displaystyle  A=\begin{bmatrix}  0&1&1\\  0&0&2\\  0&0&2  \end{bmatrix}

的特徵值為 \lambda_1=\lambda_2=0\lambda_3=2,對應的特徵向量分別為 \mathbf{x}_1=\mathbf{x}_2=\begin{bmatrix}  1\\  0\\  0  \end{bmatrix}\mathbf{x}_3=\begin{bmatrix}  1\\  1\\  1  \end{bmatrix}。然而,

\displaystyle  A^2=\begin{bmatrix}  0&0&4\\  0&0&4\\  0&0&4  \end{bmatrix}

的特徵值為 \lambda'_1=\lambda'_2=0\lambda'_3=4,對應的特徵向量分別為 \mathbf{x}'_1=\begin{bmatrix}  1\\  0\\  0  \end{bmatrix}\mathbf{x}'_2=\begin{bmatrix}  0\\  1\\  0  \end{bmatrix}\mathbf{x}'_3=\begin{bmatrix}  1\\  1\\  1  \end{bmatrix}。冪矩陣 A^2 的特徵值確實是 \lambda_1^2,\lambda_2^2,\lambda_3^2,但對應的特徵向量除了包含 A 的特徵向量外,還多一個線性獨立的特徵向量 \begin{bmatrix}  0\\  1\\  0  \end{bmatrix}。換一個說法,A 不可對角化 (因為不存在 3 個線性獨立的特徵向量),A^2 卻可對角化。為甚麼會有這樣奇怪的現象?下面我們就來探討冪矩陣的最大線性獨立的特徵向量數增多的原因。

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每週問題 June 8, 2015

矩陣 A 相似於 A^\ast 等價於 A 相似於一實矩陣。

Let A be an n\times n complex matrix. Show that A is similar to a real matrix B if and only if A is similar to A^\ast.

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可對角化矩陣的譜分解──續篇(下)

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我們曾經在“可對角化矩陣的譜分解──續篇(上)”證明譜定理 (spectrum theorem) 的反向命題:若 n\times n 階矩陣 A 可表示為

\displaystyle   A=\lambda_1P_1+\cdots+\lambda_mP_m

其中 \lambda_1,\ldots,\lambda_m 為相異數,P_1,\ldots,P_m 是非零矩陣並滿足 P_iP_j=0i\neq j,以及 P_1+\cdots+P_m=I,則 A 可對角化 (若未註明階數,以下 I 表示 n\times n 階單位矩陣 I_n)。本文介紹一個採用建構式的證明,我們的思路是從給定條件先推論 P_i 是冪等 (idempotent) 矩陣,從而導出 A 的對角化形式 A=XDX^{-1},其中 D=\text{diag}(d_1,\ldots,d_n),每一 d_i\in\{\lambda_1,\ldots,\lambda_m\},表明 \lambda_1,\ldots,\lambda_mA 的特徵值,X 是特徵向量矩陣。這個證明所使用的線性代數定理與分析方法包括分塊矩陣的保秩變換、秩─零度定理、可對角化矩陣的成立條件、秩分解 (rank decomposition),以及透過相似變換用跡數來計算秩。為便於閱讀,我將證明分成幾個步驟。(本文的證明由網友Meiyue Shao提供,原始文本請見“Spectral_decomposition”。)

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利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量

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A 為一 n\times n 階矩陣,\lambda_1,\ldots,\lambda_n 為特徵值 (包含相重特徵值),\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 為對應的特徵向量,即有 A\mathbf{x}_i=\lambda_i\mathbf{x}_ii=1,\ldots,n。本文介紹如何利用 Vandermonde 矩陣證明對應相異特徵值的特徵向量組成一線性獨立集。(此證法源於網友 Meiyue Shao 對“相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明”的回應。)

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每週問題 June 1, 2015

利用矩陣範數證明可逆矩陣。原先公布的問題與“每週問題 May 31, 2010”重複,故更改為下列問題。

Let A be an n\times n matrix. If \Vert I-A\Vert<1, show that A is invertible.

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每週問題 May 25, 2015

這是關於分塊矩陣行列式的計算問題。

Let M=\begin{bmatrix}  A&B\\  C&D  \end{bmatrix}, where A and D are square matrices of order m and n, respectively. Let E be an m\times m matrix and F be an n\times m matrix. Prove the following identities.

(a) \begin{vmatrix}  EA&EB\\  C&D  \end{vmatrix}=(\det E)(\det M).
(b) \begin{vmatrix}  A&B\\  C+FA&D+FB  \end{vmatrix}=\det M.

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