## 每週問題 February 9, 2015

If $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$ such that $\mathbf{v}^T\mathbf{u}=1$, show that

$\displaystyle \Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_2=\Vert\mathbf{u}\Vert \Vert\mathbf{v}\Vert=\Vert\mathbf{u}\mathbf{v}^T\Vert_F$,

where $\Vert\cdot\Vert_2$ is the 2-norm and $\Vert\cdot\Vert_F$ is the Frobenius norm.

## 每週問題 February 2, 2015

Let $A$ be a skew Hermitian matrix. Show that Cayley transformation

$\displaystyle U=(I-A)(I+A)^{-1}=(I+A)^{-1}(I-A)$

is a unitary matrix.

## 每週問題 January 26, 2015

A matrix satisfying $A^2=I$ is said to be an involutory matrix, and a matrix $B$ satisfying $B^2=B$ is said to be an idempotent matrix. Show that there is a one-to-one correspondence between the set of $n\times n$ involutory matrices and the set of $n\times n$ idempotent matrices.

## 矩陣多項式

$\mathcal{P}_m$ 表示最高次為 $m$ 的多項式所形成的集合。給定

$\displaystyle f(t)=a_mt^m+\cdots+a_1t+a_0\in\mathcal{P}_m$

$\displaystyle f(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A+a_0I$

$\displaystyle f(A)=2\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-1\\ 2&0 \end{array}\!\!\right]^2-3\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-1\\ 2&0 \end{array}\!\!\right]+5\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rc} 0&1\\ -2&1 \end{array}\!\!\right]$

## 每週問題 January 19, 2015

Let $A$ be an $n\times n$ matrix. If all entries of $A$ and $A^{-1}$ are integers, show that $\det(A^2)=1$.

## 每週問題 January 12, 2015

Let $A$ be an $n\times n$ matrix. If $A^TA=I$ and $\det A<0$, determine $\det(A+I)$.

## 每週問題 January 5, 2015

Let $\mathbf{u}=(1,-1,-1,1,1)^T$. Determine $(I+2\mathbf{u}\mathbf{u}^T)(I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T)^{-1}\mathbf{u}$.

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## 常態分布與二次型

• 期望值 $E[\cdot]$ 是線性算子，共變異數矩陣 $\Sigma$ 是半正定 (對稱) 矩陣。
• 服從常態分布的隨機向量的仿射變換 (affine transformation) 也為常態分布。令 $\mathbf{x}$ 為一 $p$ 維隨機向量，且 $\mathbf{x}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu},\Sigma)$。若 $\mathbf{y}=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$，其中 $A$$m\times p$ 階常數矩陣，$\mathbf{b}$$m$ 維常數向量，則 $\mathbf{y}\sim\mathcal{N}(A\boldsymbol{\mu}+\mathbf{b},A\Sigma A^T)$，即 $E[\mathbf{y}]=A\boldsymbol{\mu}+\mathbf{b}$$\text{Cov}[\mathbf{y}]=A\Sigma A^T$
• $\mathbf{x}$$\mathbf{y}$ 為二個隨機向量 (維數可不同)，$\begin{bmatrix} \mathbf{x}\\ \mathbf{y} \end{bmatrix}$ 服從常態分布。若交互 (cross) 共變異數矩陣 $\text{Cov}[\mathbf{x},\mathbf{y}]=E\left[(\mathbf{x}-E[\mathbf{x}])(\mathbf{y}-E[\mathbf{y}])^T\right]=0$，則 $\mathbf{x}$$\mathbf{y}$ 是獨立的隨機向量，反之亦然。