每週問題 April 25, 2016

計算一個線性變換的跡數、行列式、特徵值與特徵向量。

Let \mathcal{V} be the vector space spanned by functions \cos(2x) and \sin(2x).
(a) Find the trace and determinant of the linear transformation D(f)=f' from \mathcal{V} to \mathcal{V}.
(b) Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of D.

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二階方陣的平方根

本文的閱讀等級:中級

A 是一個 n\times n 階矩陣。若同階矩陣 B 使得 B^2=A,我們稱 BA 的一個平方根。對角化是矩陣平方根的標準算法。若 A 可對角化為 A=SDS^{-1},其中 S 是一個可逆矩陣,D=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) 的主對角元 \lambda_iA 的特徵值。若 CD 的一個平方根,C^2=D,則 B=SCS^{-1}A 的一個平方根。若 A 有兩兩相異的非零特徵值,則存在 2^n 個平方根 B=S\,\hbox{diag}(\pm\sqrt{\lambda_1},\ldots,\pm\sqrt{\lambda_n})\,S^{-1}。但如果 A 有相重特徵值或 \lambda_i=0,取決於 A 的 Jordan 典型形式,A 可能不存在平方根,存在少於 2^n 或無窮多個平方根。特別的,2\times 2 階矩陣的平方根公式相當簡單,原因在於其逆矩陣、特徵值與特徵向量都有容易處理的代數式。

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每週問題 April 18, 2016

證明子空間交集維數的一個不等式。

Let \mathcal{V} be an n-dimensional vector space, and S_1, \ldots, S_k be subspaces in \mathcal{V}. If \sum_{i=1}^k\dim S_i>n(k-1), show that \bigcap_{1\le i\le k}S_i\neq\{\mathbf{0}\}.

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賦範向量空間

本文的閱讀等級:中級

向量空間是一種代數結構,其中定義兩個運算:向量加法與純量乘法。令 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 為向量空間 \mathcal{V} 的一組基底,意指 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是一個線性獨立集,且每一個向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 可表示為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合 (見“基底與維數常見問答集”)。若基底是一個有限集,則 \mathcal{V} 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。有限維向量空間比無限維向量空間容易分析,但有限維向量空間的概念與定理未必適用無限維向量空間。用一個例子說明。令 \mathbb{R}^\infty 代表實序列 \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots),或記為 \{x_n\},形成的無限維向量空間 (見“向量空間與實例”)。實序列空間 \mathbb{R}^\infty 似乎是有限維向量空間 \mathbb{R}^n 的直接推廣,實則不然。在 \mathbb{R}^\infty,兩個序列 (x_1,x_2,\ldots)(y_1,y_2,\ldots) 的加法定義為 (x_1,x_2,\ldots)+(y_1,y_2,\ldots)=(x_1+y_1,x_2+y_2,\ldots),純量 c\in\mathbb{R} 與序列 (x_1,x_2,\ldots) 的乘法定義為 c(x_1,x_2,\ldots)=(cx_1,cx_2,\ldots)。套用有限維向量空間 \mathbb{R}^n 的向量構造方式,

\displaystyle  \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots)=x_1(1,0,0,\ldots)+x_2(0,1,0,\ldots)+\cdots=\sum_{i=1}^\infty x_i\mathbf{e}_i

其中 \mathbf{e}_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots) 的第 i 元為 1,其餘元為 0。表面上,\mathbb{R}^\infty 是所有 \mathbf{e}_i 的「無限線性組合」構成的集合,但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的,譬如,(1,2,3,\ldots) 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢?數學家想出一個方法:考慮無限多個向量 \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots 的部分和,\mathbf{s}_n=\sum_{i=1}^n\mathbf{x}_in=1,2,\ldots,並期待向量序列 \{\mathbf{s}_n\} 收斂至某個向量 \mathbf{s},也就是說隨著 n 增大,序列 \{\mathbf{s}_n\} 越來越接近 \mathbf{s}。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 \mathbf{s}_n\mathbf{s} 之間的「距離」,或者說 \mathbf{s}_n-\mathbf{s} 的「長度」。這裡加入引號的原因在於距離與長度是歐幾里得空間 \mathbb{R}^2\mathbb{R}^3 的幾何概念,歐幾里得距離的推廣稱為度量 (metric),幾何向量長度的推廣則稱為範數 (norm)。

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每週問題 April 11, 2016

利用畢氏定理判定兩個正交的複向量。

Let \mathcal{V} be a complex inner product space. Show that two vectors \mathbf{x} and \mathbf{y} in \mathcal{V} are orthogonal if and only if

\Vert \alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}\Vert^2=\Vert\alpha\mathbf{x}\Vert^2+\Vert\beta\mathbf{y}\Vert^2

for all pairs of scalars \alpha and \beta.

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每週問題 April 4, 2016

A^2=0,則 A 的最大秩是多少?

Let A be an n\times n matrix and A^2=0. What is the maximum value of \hbox{rank}A?

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每週問題 March 28, 2016

判定兩個冪零矩陣相似的充要條件。

Let A and B be n\times n nonzero matrices.
(a) If A^2=B^2=0, is it true that A and B are similar if and only if \hbox{rank}A=\hbox{rank}B?
(b) If A^3=B^3=0, is it true that A and B are similar if and only if \hbox{rank}A=\hbox{rank}B?

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單範正交基底

本文的閱讀等級:中級

歐幾里得空間 \mathbb{R}^2\mathbb{R}^3 是具有內積運算的向量空間 (見“歐幾里得空間的數學結構”),稱為內積空間。歐幾里得空間 \mathbb{R}^2 的標準基底 \{\mathbf{e}_1=(1,0),\mathbf{e}_2=(0,1)\} 由正交 (垂直) 的單位向量組成,即 \Vert\mathbf{e}_1\Vert=\Vert\mathbf{e}_2\Vert=1\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2=0。令 \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 逆時針旋轉 \theta 徑度,所得的向量 \mathbf{e}'_1=(\cos\theta,\sin\theta)\mathbf{e}'_2=(-\sin\theta,\cos\theta)\mathbb{R}^2 的另一組基底。同樣地,基底 \{\mathbf{e}'_1,\mathbf{e}'_2\} 滿足 \Vert\mathbf{e}'_1\Vert=\Vert\mathbf{e}'_2\Vert=1{\mathbf{e}'_1}\cdot\mathbf{e}'_2=0。我們稱 \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}\{\mathbf{e}'_1,\mathbf{e}'_2\} 是歐幾里得空間 \mathbb{R}^2 的單範正交基底[1] (orthonormal basis)。基底造出向量空間的結構,單範正交基底則造出內積空間的結構。若與非正交基底比較,單範正交基底的最大優勢在於具備清晰的幾何意義而且容易計算。通過討論一般內積空間的單範正交基底的等價條件可以幫助你了解這種特殊基底的應用價值。

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證明細解 2

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A 為一個 n\times n 階矩陣。若存在同階矩陣 A^{-1} 使得 A^{-1}A=AA^{-1}=I,則 A 稱為可逆 (invertible) 矩陣。若 An 個線性獨立的行 (column) 與列 (row),即滿秩,記作 \hbox{rank}A=n,則 A 稱為非奇異 (nonsingular) 或非退化 (nondegenerate) 矩陣。可逆矩陣與非奇異矩陣是同義的。我們要證明可逆矩陣的一個充要條件:可逆矩陣不具備「毀滅性」的矩陣乘法,詳述於下列定理。

 
定理. 令 A 為一個 n\times n 階矩陣。每一個 n\times n 階非零矩陣 B 使得 AB\neq 0 若且惟若 A 是一個可逆矩陣。

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每週問題 March 21, 2016

在有限維向量空間的任何一個線性獨立向量集都可擴大成為一組基底。

If \mathcal{V} is a finite-dimensional vector space and if \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\} is any set of linearly independent vectors in \mathcal{V}, prove that, unless \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\} already form a basis, we can find vectors \mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p} so that \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m,\mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p}\} is a basis.

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