## 每週問題 March 21, 2016

If $\mathcal{V}$ is a finite-dimensional vector space and if $\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\}$ is any set of linearly independent vectors in $\mathcal{V}$, prove that, unless $\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\}$ already form a basis, we can find vectors $\mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p}$ so that $\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m,\mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p}\}$ is a basis.

## 證明細解 1

1. 了解問題：要知道未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？
2. 擬定計畫：找出已知數與未知數之間的關係。如果這個關係不是很明確，可以嘗試考慮類似的問題。最後，我們應該能想出解題的計畫。
3. 執行計畫：將解題計畫付諸實現，仔細檢查每一個步驟。
4. 驗算與回顧：驗算所得的解答，檢驗每一個論證步驟是否正確。

## 每週問題 March 14, 2016

Prove that the number of elements in any basis of a finite-dimensional vector space is the same as in any other basis.

## 每週問題 March 7, 2016

Schwarz 不等式的等號成立的一個充要條件為兩個向量是線性相關的。

Let $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ be vectors in an inner product space, and $\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle$ denote the inner product of $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$. Prove that if $\vert\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle\vert=\Vert\mathbf{x}\Vert\cdot\Vert\mathbf{y}\Vert$ (that is, the Schwarz inequality reduces to an equality), then $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ are linearly dependent.

## 每週問題 February 29, 2016

Let $S=\{p_0(x),p_1(x),\ldots,p_n(x)\}$ be a subset of the vector space of all polynomials whose degrees do not exceed $n$. If the polynomials in $S$ share a common root $r$, then $S$ is linearly dependent.

## 無限維向量空間的基底

1. $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 是一個線性獨立集，即 $c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n=\mathbf{0}$ 蘊含 $c_1=\cdots=c_n=0$
2. $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}$ 生成 (span) $\mathcal{V}$，即任何一個向量 $\mathbf{x}\in\mathcal{V}$ 可表示為 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$ 的線性組合，$\mathbf{x}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n$

## 每週問題 February 22, 2016

Let $A$, $B$, and $C$ be $n\times n$ matrices.
(a) Is it true that $ABC$, $BCA$, and $CAB$ have the same eigenvalues?
(b) Is it true that $ABC$ and $CBA$ have the same eigenvalues?