## Cayley-Hamilton 定理的一個錯誤「證明」

\begin{aligned} p(\lambda)&=\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix} a-\lambda&b\\ c&d-\lambda \end{vmatrix}\\ &=\lambda^2-(a+d)\lambda+ad-bc,\end{aligned}

Cayley-Hamilton 定理宣稱

$p(A)=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=0$

Cayley-Hamilton 定理有很多種證法 (見“Cayley-Hamilton 定理”)，但其中幾乎挑不出一個簡單的證明。底下這個看似快捷實乃錯誤的「證明」曾經不斷地被初學者重複發現：

$p(A)=\det(A-AI)=\det(A-A)=\det 0=0$

## 「零」究竟是有還是沒有？

2000年3月27日，交通大學舉辦「人文與科技三賢鼎談」，三賢是法鼓山聖嚴法師，交通大學校長張俊彥與清華大學校長劉炯朗。會中有一段談話，抄錄於下[1]

## 反對角矩陣的特徵值

$A=[a_{ij}]$ 為一個 $n\times n$ 階反對角矩陣 (anti-diagonal matrix)。例如，若 $n=5$

$A=\begin{bmatrix} &&&&a_{15}\\ &&&a_{24}&\\ &&a_{33}&&\\ &a_{42}&&&\\ a_{51}&&&& \end{bmatrix}$

## 每週問題 May 16, 2016

Let $A$ and $B$ be $m\times n$ matrices. Show that

$|\hbox{rank}A-\hbox{rank}B|\le \hbox{rank}(A-B)$.

## 不說廢話──克拉瑪公式的證明

You know that I write slowly. This is chiefly because I am never satisfied until I have said as much as possible in a few words, and writing briefly takes far more time than writing at length.
― Carl Friedrich Gauss

$A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}$ 為一個 $n\times n$ 階矩陣且 $\mathbf{b}$ 為一個 $n$ 維行向量 (column vector)。若 $A$ 是可逆的，克拉瑪公式 (Cramer’s rule) 給出線性方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解 $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)^T$，如下 (見“克拉瑪公式的證明”)：

$\displaystyle x_i=\frac{\det A_i(\mathbf{b})}{\det A},~~i=1,\ldots,n$

$A_i(\mathbf{b})=\begin{bmatrix} ~&~&~&~&~&~&~\\ \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_{i-1}&\mathbf{b}&\mathbf{a}_{i+1}&\cdots&\mathbf{a}_n\\ ~&~&~&~&~&~&~ \end{bmatrix}$

## 每週問題 May 9, 2016

$A$ 是一個可逆非負矩陣且 $A^{-1}$ 也是非負矩陣，則 $A$ 有甚麼特殊性質？

Let $A=[a_{ij}]$ be an $n\times n$ non-negative matrix, i.e., $a_{ij}\ge 0$ for all $i$ and $j$. If $A$ is nonsingular and $A^{-1}$ is a non-negative matrix as well, then $A$ is a monomial matrix. Note that a nonsingular matrix $A$ is monomial if $A$ can be written as $A=PD$, where $P$ is a permutation matrix and $D$ is a nonsingular diagonal matrix.

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## 每週問題 May 2, 2016

Let $A$ be an $m\times n$ complex matrix. Show that for any $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^m$, the normal equation $A^\ast A\mathbf{x}=A^\ast\mathbf{b}$ is consistent, meaning that it has solutions.

## 矩陣積 AB 之轉置公式的無言證明

$A=\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{bmatrix},~~A^T=\begin{bmatrix} 1&4\\ 2&5\\ 3&6 \end{bmatrix}$

$(AB)^T=B^TA^T$

## 每週問題 April 25, 2016

Let $\mathcal{V}$ be the vector space spanned by functions $\cos(2x)$ and $\sin(2x)$.
(a) Find the trace and determinant of the linear transformation $D(f)=f'$ from $\mathcal{V}$ to $\mathcal{V}$.
(b) Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of $D$.