每週問題 June 8, 2015

矩陣 A 相似於 A^\ast 等價於 A 相似於一實矩陣。

Let A be an n\times n complex matrix. Show that A is similar to a real matrix B if and only if A is similar to A^\ast.

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可對角化矩陣的譜分解──續篇(下)

本文的閱讀等級:中級

我們曾經在“可對角化矩陣的譜分解──續篇(上)”證明譜定理 (spectrum theorem) 的反向命題:若 n\times n 階矩陣 A 可表示為

\displaystyle   A=\lambda_1P_1+\cdots+\lambda_mP_m

其中 \lambda_1,\ldots,\lambda_m 為相異數,P_1,\ldots,P_m 是非零矩陣並滿足 P_iP_j=0i\neq j,以及 P_1+\cdots+P_m=I,則 A 可對角化 (若未註明階數,以下 I 表示 n\times n 階單位矩陣 I_n)。本文介紹一個採用建構式的證明,我們的思路是從給定條件先推論 P_i 是冪等 (idempotent) 矩陣,從而導出 A 的對角化形式 A=XDX^{-1},其中 D=\text{diag}(d_1,\ldots,d_n),每一 d_i\in\{\lambda_1,\ldots,\lambda_m\},表明 \lambda_1,\ldots,\lambda_mA 的特徵值,X 是特徵向量矩陣。這個證明所使用的線性代數定理與分析方法包括分塊矩陣的保秩變換、秩─零度定理、可對角化矩陣的成立條件、秩分解 (rank decomposition),以及透過相似變換用跡數來計算秩。為便於閱讀,我將證明分成幾個步驟。(本文的證明由網友Meiyue Shao提供,原始文本請見“Spectral_decomposition”。)

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利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量

本文的閱讀等級:初級

A 為一 n\times n 階矩陣,\lambda_1,\ldots,\lambda_n 為特徵值 (包含相重特徵值),\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 為對應的特徵向量,即有 A\mathbf{x}_i=\lambda_i\mathbf{x}_ii=1,\ldots,n。本文介紹如何利用 Vandermonde 矩陣證明對應相異特徵值的特徵向量組成一線性獨立集。(此證法源於網友 Meiyue Shao 對“相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明”的回應。)

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每週問題 June 1, 2015

利用矩陣範數證明可逆矩陣。原先公布的問題與“每週問題 May 31, 2010”重複,故更改為下列問題。

Let A be an n\times n matrix. If \Vert I-A\Vert<1, show that A is invertible.

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每週問題 May 25, 2015

這是關於分塊矩陣行列式的計算問題。

Let M=\begin{bmatrix}  A&B\\  C&D  \end{bmatrix}, where A and D are square matrices of order m and n, respectively. Let E be an m\times m matrix and F be an n\times m matrix. Prove the following identities.

(a) \begin{vmatrix}  EA&EB\\  C&D  \end{vmatrix}=(\det E)(\det M).
(b) \begin{vmatrix}  A&B\\  C+FA&D+FB  \end{vmatrix}=\det M.

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相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明

本文的閱讀等級:初級

A 為一 n\times n 階矩陣,\lambda_1,\ldots,\lambda_n 為特徵值,\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 為對應的特徵向量。本文證明一個重要的定理:對應相異特徵值的特徵向量組成一線性獨立集。(其他證法見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”,“每週問題 June 11, 2012”,“利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量”。) 例如,

\displaystyle    A=\left[\!\!\begin{array}{ccr}      2&1&1\\      0&1&-1\\      0&0&2      \end{array}\!\!\right]

有特徵值 \lambda_1=1,對應特徵向量 \mathbf{x}_1=\left[\!\!\begin{array}{r}      -1\\      1\\      0      \end{array}\!\!\right],以及特徵值 \lambda_2=\lambda_3=2 (代數重數為 2),對應特徵向量 \mathbf{x}_2=\begin{bmatrix}    1\\    0\\    0    \end{bmatrix}\mathbf{x}_3=\left[\!\!\begin{array}{r}    0\\    -1\\    1    \end{array}\!\!\right] (幾何重數為 2)。根據上述性質,\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_3\} 都是線性獨立集。

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每週問題 May 18, 2015

證明冪等 (idempotent) 矩陣的一些性質。

Let P be an n\times n idempotent matrix, i.e., P^2=P. Let C(P) and N(P) denote the column space and nullspace of P, respectively. Prove the following statements.

(a) I-P is an idempotent matrix.
(b) N(P)=C(I-P).
(c) C(P)\cap N(P)=\{\mathbf{0}\}.
(d) \text{rank}P=\dim N(I-P).
(e) \text{rank}P+\text{rank}(I-P)=n.

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每週問題 May 11, 2015

證明反 Hermitian 矩陣的特徵值為純虛數。

Show that the eigenvalues of any skew-Hermitian matrix are pure imaginary number.

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每週問題 May 4, 2015

證明 n\times n 階冪零 (nilpotent) 矩陣 A 滿足 A^n=0

A square matrix A is said to be nilpotent if A^k=0 for some k>0. Show that if A is an n\times n nilpotent matrix, then A^n=0.

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每週問題 April 27, 2015

這是利用行列式證明一特殊矩陣型態必定可逆的問題。

For any n\times n matrix A, show that there exists a matrix J=\text{diag}(\pm 1, \ldots,\pm 1) such that A+J is nonsingular.

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