Tag Archives: 三對角矩陣

Krylov 子空間法──線性方程的數值解法 (一)：Arnoldi 與 Lanczos 算法

Posted on 11/26/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 令 為一 階複矩陣， 為一非零向量。向量序列 稱為 Krylov 序列，此序列所生成的子空間稱為 Krylov 子空間 (見“Krylov 子空間法”)，記為 。 因為 是有限維空間 的一個子空間，當 不斷增大時，Krylov 序列 最終會是一個線性相關集。設 為最小的正整數使得 ，也就是說 為一個線性獨立集且 。因此，存在唯一數組 滿足 。 定義 次多項式 。 因為 ，我們稱 為 相對於 的最小 (消滅) 多項式 (minimal polynomial)。以下考慮 為可逆矩陣。我們可以斷定 ，否則有 ，即存在次數小於 … Continue reading →

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利用 LU 分解推導 Lehmer 矩陣的逆矩陣

Posted on 11/13/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 Lehmer 矩陣為一 階對稱矩陣 ，其中 Lehmer 矩陣是一種測試矩陣，通常用來評估逆矩陣算法的精確度。逆 Lehmer 矩陣為三對角矩陣 (見“特殊矩陣 (11)：三對角矩陣”)，並具有一種奇特的性質。令 表示 階 Lehmer 矩陣。對於 ，除了 的 元， 恰為 的 階領先主子陣 (即左上 階分塊)。下面列舉 的 Lehmer 矩陣及其逆矩陣： 透過觀察不太容易歸納出 Lehmer 矩陣的逆矩陣公式，本文用 LU 分解推導逆矩陣 (見“LU 分解”)。對稱矩陣 的 LU 分解可表示為 ，其中 是下三角矩陣且主對角元等於 ， 是對角矩陣。若 … Continue reading →

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線性代數在數值分析的應用 (二)：Dirichlet 問題

Posted on 09/03/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 在物理學中，等方向均勻介質的一點的溫度變化由熱傳導方程 (heat equation) 所描述[1]： ， 其中 是點 於時間 的溫度， 是一正數，稱為熱擴散率 (thermal diffusivity)， 是 Laplace 算子 (或稱 Laplacian)，定義如下： 。 淺白地說，Laplace 算子度量一點的函數值與其鄰近點的差異。若點 處於穩態，即該點溫度不隨時間改變，則 滿足 Laplace 方程 。如果二階連續可導函數 ( 為一開集) 滿足 Laplace 方程，我們稱之為調和函數 (harmonic function)。本文將探討簡化後的二維 Dirichlet 問題[2]：尋找一調和函數 ，使其在一正方形區域內所有點皆滿足 ，且邊界滿足給定條件 。

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實對稱矩陣特徵值變化界定的典型問題

Posted on 10/19/2012 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 線性代數所處理的最佳化問題可概分為兩大類：一是線性方程 的最小平方近似解問題，即求出 使得誤差平方 具有最小值。內積空間理論導出最佳解須滿足正規方程式 (normal equation) (見“ 從線性變換解釋最小平方近似”)。二是特徵分析推衍的二次型約束最佳化問題，即求單位向量 (unit vector) 使得 有最大值，其中 是實對稱矩陣。二次型 的極值產生條件是特徵方程式 ，極值大小則由 的特徵值決定 (見“二次型與正定矩陣”)。因為這個緣故，二次型約束最佳化也稱為實對稱矩陣的特徵值變化界定，下面我們討論兩個典型問題並說明完整的解法。   問題一 (取自 2012年台大資訊所碩士班入學試題)：令 為實數，且 ，求 的最大值。

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每週問題 April 16, 2012

Posted on 04/16/2012 by ccjou

本週問題是計算一特殊型態的三對角（tridiagonal）矩陣的行列式。 Pow-April-16-12 參考解答 PowSol-April-16-12

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每週問題 December 13, 2010

Posted on 12/13/2010 by ccjou

這是特殊三對角矩陣的行列式計算問題，過程使用差分方程。 Pow-Dec-13-10 參考解答 PowSol-Dec-13-10

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線性代數在數值分析的應用 (一)：兩點邊值問題

Posted on 02/24/2010 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 數值分析 (numerical analysis) 是一門研究連續數學問題演算法的科目，內容包羅萬象，如解非線性方程、解線性或非線性聯立方程組、插值 (interpolation) 與曲線配適 (curve fitting)、數值微分與積分、常微分方程與偏微分方程的數值解、邊值 (boundary-value) 與特徵值 (characteristic-value) 問題等。線性代數和數值分析有極密切的關係，一方面數值分析涵蓋一些數值線性代數問題，另一方面數值分析的部分演算法建立於線性代數之上。本文介紹線性代數在數值分析中的一個簡單應用──將兩點邊值 (two-point boundary-value) 問題轉換為線性聯立方程組的求解問題。

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特殊矩陣 (11)：三對角矩陣

Posted on 02/22/2010 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 如果 階方陣 除了主對角線元以及比主對角線低一列和高一列的對角線之外，其餘皆為零元，我們稱它為三對角 (tridiagonal) 矩陣，也就是說，當 ，；如下例， 三對角矩陣常出現於數值分析問題，本文僅介紹三對角矩陣的幾個基本性質，包括行列式計算、相似變換的應用以及求解線性方程。

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每週問題 February 15, 2010

Posted on 02/10/2010 by ccjou

本週問題是求一個三對角矩陣的特徵值和特徵向量。 點選問題↓ Pow-Feb-15-10 參考解答↓ PowSol-Feb-15-10

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