Tag Archives: 三角不等式

每週問題 May 1, 2017

證明嚴格對角佔優 (strictly diagonally dominant) 矩陣是可逆矩陣。 Let be an matrix. Prove that if for , then is invertible. Advertisements

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賦範向量空間

本文的閱讀等級:中級 向量空間是一種代數結構,其中定義兩個運算:向量加法與純量乘法。令 為向量空間 的一組基底,意指 是一個線性獨立集,且每一個向量 可表示為 的線性組合 (見“基底與維數常見問答集”)。若基底是一個有限集,則 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。有限維向量空間比無限維向量空間容易分析,但有限維向量空間的概念與定理未必適用無限維向量空間。用一個例子說明。令 代表實序列 ,或記為 ,形成的無限維向量空間 (見“向量空間與實例”)。實序列空間 似乎是有限維向量空間 的直接推廣,實則不然。在 ,兩個序列 與 的加法定義為 ,純量 與序列 的乘法定義為 。套用有限維向量空間 的向量構造方式, , 其中 的第 元為 ,其餘元為 。表面上, 是所有 的「無限線性組合」構成的集合,但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的,譬如, 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢?數學家想出一個方法:考慮無限多個向量 的部分和,,,並期待向量序列 收斂至某個向量 ,也就是說隨著 增大,序列 越來越接近 。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 與 之間的「距離」,或者說 … Continue reading

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矩陣跡數與特徵值和奇異值的關係

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階複矩陣。矩陣 的主對角元之和稱為跡數 (trace),記作 。 矩陣的跡數與特徵值存在一個簡單的關係 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”): , 其中 是 的特徵值。因為種種緣故,多數的基礎線性代數課程就此打住,不再深入探究。引用電影《一代宗師》宮二小姐的話:「寧可一思進,莫在一思停。」現在我們繼續往前進。根據定義,直接計算矩陣乘法可得 本文通過計算 、 和 來探討矩陣跡數與特徵值和奇異值之間的不等關係。

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Hermitian 矩陣的等價條件

本文的閱讀等級:中級 1994年,美國數學月刊 (American Mathematical Monthly) 登載一位學生的提問:在線性代數期末考試,題目要求寫出 Hermitian 矩陣 的定義,他出於匆忙與疲憊沒有寫下正確的答案 ,他的回答是 。這是正確的答案嗎?是的,三年後美國數學月刊登出了讀者提供的五個證明[1]。   若一個 階矩陣 滿足 ,則 稱為 Hermitian 矩陣 (性質見“特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”)。Hermitian 矩陣有以下等價的陳述 (充要條件): ; 的二次型必為實數,即對於所有的 , 是實數; 么正相似 (unitarily similar) 於一個實對角矩陣,即存在一個么正 (unitary) 矩陣 ,,使得 ,其中 是實數; ; 。

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定常迭代法──線性方程的數值解法

本文的閱讀等級:中級 高斯消去法是當今最常被使用的線性方程解法 (見“高斯消去法”),它是一種直接法,即一次性地解決問題。對於一個 階方陣,高斯消去法耗用的運算量是 。如果我們面對的是一個大型的稀疏矩陣,這時可用迭代法來求解。所謂迭代法是指從一個初始估計值出發,尋找一系列近似解以期解決問題的方法。大致上,應用於解線性方程的迭代法可區分為兩類:定常迭代法 (stationary iterative method) 和 Krylov 法。定常迭代法相對古老,容易瞭解與實現,惟效果通常不佳。Krylov 法相對年輕,雖然較不易理解分析,但效果普遍優異。本文介紹定常迭代法,並討論其中三種主要方法。

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向量範數

本文的閱讀等級:中級 線性代數的許多概念與主題衍生自歐幾里得幾何。典型的一個作法是將 和 的幾何觀念推廣至高維座標空間 和 。譬如,畢氏定理可用來計算二維實向量 和三維實向量 的長度: , 稱為歐氏範數 (Euclidean norm)。類似地, 維向量長度也有相同的算式。對於 , 。 上式中,我們以向量內積來表達 維實向量的歐氏範數。同樣道理, 維複向量的歐氏範數應該用複向量內積表達。對於 ,歐氏範數定義為 。 若 ,其中 和 是實數,,則 ,即有 。所以, 確保複向量的歐氏範數 不為負值。

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特殊矩陣 (18):正矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階實矩陣。若每一 ,我們稱 是正矩陣 (positive matrix),記為 。(注意,在其他文章我用 表示 是正定矩陣。) 若每一 ,則 稱為非負矩陣 (nonnegative matrix),記為 。推廣至更一般的情況, 代表每一 , 代表每一 。因為 維實向量可視為 階矩陣,故同樣有正向量和非負向量的概念。相反關係 和 也按類似方式定義。正矩陣和非負矩陣出現於許多應用問題中,例如,馬可夫過程 (見“馬可夫過程”) 和圖論模型的鄰接矩陣 (見“Google 搜尋引擎使用的矩陣運算”,“線性代數在圖論的應用 (一):鄰接矩陣”)。本文介紹 階正矩陣的特徵值和特徵向量性質,這些結果統稱為 Perron 定理[1]。

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條件數

本文的閱讀等級:高級 當一個線性系統受到極微小的擾動即可引發方程解劇烈變化時,我們將無從信任計算結果,便稱它是病態系統 (見“病態系統”)。條件數 (condition number) 是矩陣運算誤差分析的基本工具,它可以度量矩陣對於數值計算的敏感性與穩定性,也可以用來檢定病態系統。本文通過一個簡單的線性方程擾動問題介紹條件數的推導過程,推演工具是矩陣範數 的定義所含的兩個不等式 (見“矩陣範數”): , 。

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每週問題 May 17, 2010

本週問題是證明反向三角不等式。 點選問題↓ Pow-May-17-10 參考解答↓ PowSol-May-17-10

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矩陣範數

本文的閱讀等級:中級 幾何向量 的大小表現於其長度 (原點至向量端點的歐氏距離),那麼矩陣 的大小應如何度量呢?矩陣的大小度量稱為矩陣範數 (norm),記為 。佈於相同數系 ( 或 ) 且尺寸相同的矩陣集合構成一個向量空間,因此最直接的度量方式是仿造向量長度來定義矩陣範數。令 階矩陣 的行向量 (column vector) 為 ,其中 。Frobenius 範數定義如下: 。 Frobenius 範數 也可以由下式算得: 。 直接展開計算可驗證上面二式相等: 。 另外,Frobenius 範數與 的奇異值有關。令 ,,,為 的奇異值,其中 。下式成立 (證明見“SVD 於矩陣近似的應用”): 。

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