Tag Archives: 三角不等式

每週問題 May 1, 2017

Posted on 05/01/2017 by ccjou

證明嚴格對角佔優 (strictly diagonally dominant) 矩陣是可逆矩陣。 Let be an matrix. Prove that if for , then is invertible.

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賦範向量空間

Posted on 04/12/2016 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 向量空間是一種代數結構，其中定義兩個運算：向量加法與純量乘法。令 為向量空間 的一組基底，意指 是一個線性獨立集，且每一個向量 可表示為 的線性組合 (見“基底與維數常見問答集”)。若基底是一個有限集，則 稱為有限維向量空間，否則稱為無限維向量空間。有限維向量空間比無限維向量空間容易分析，但有限維向量空間的概念與定理未必適用無限維向量空間。用一個例子說明。令 代表實序列 ，或記為 ，形成的無限維向量空間 (見“向量空間與實例”)。實序列空間 似乎是有限維向量空間 的直接推廣，實則不然。在 ，兩個序列 與 的加法定義為 ，純量 與序列 的乘法定義為 。套用有限維向量空間 的向量構造方式， ， 其中 的第 元為 ，其餘元為 。表面上， 是所有 的「無限線性組合」構成的集合，但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的，譬如， 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢？數學家想出一個方法：考慮無限多個向量 的部分和，，，並期待向量序列 收斂至某個向量 ，也就是說隨著 增大，序列 越來越接近 。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 與 之間的「距離」，或者說 … Continue reading →

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矩陣跡數與特徵值和奇異值的關係

Posted on 10/30/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 令 為一個 階複矩陣。矩陣 的主對角元之和稱為跡數 (trace)，記作 。 矩陣的跡數與特徵值存在一個簡單的關係 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”)： ， 其中 是 的特徵值。因為種種緣故，多數的基礎線性代數課程就此打住，不再深入探究。引用電影《一代宗師》宮二小姐的話：「寧可一思進，莫在一思停。」現在我們繼續往前進。根據定義，直接計算矩陣乘法可得 本文通過計算 、 和 來探討矩陣跡數與特徵值和奇異值之間的不等關係。

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Hermitian 矩陣的等價條件

Posted on 10/21/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 1994年，美國數學月刊 (American Mathematical Monthly) 登載一位學生的提問：在線性代數期末考試，題目要求寫出 Hermitian 矩陣 的定義，他出於匆忙與疲憊沒有寫下正確的答案 ，他的回答是 。這是正確的答案嗎？是的，三年後美國數學月刊登出了讀者提供的五個證明[1]。   若一個 階矩陣 滿足 ，則 稱為 Hermitian 矩陣 (性質見“特殊矩陣 (9)：Hermitian 矩陣”)。Hermitian 矩陣有以下等價的陳述 (充要條件)： ； 的二次型必為實數，即對於所有的 ， 是實數； 么正相似 (unitarily similar) 於一個實對角矩陣，即存在一個么正 (unitary) 矩陣 ，，使得 ，其中 是實數； ； 。

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定常迭代法──線性方程的數值解法

Posted on 08/22/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 高斯消去法是當今最常被使用的線性方程解法 (見“高斯消去法”)，它是一種直接法，即一次性地解決問題。對於一個 階方陣，高斯消去法耗用的運算量是 。如果我們面對的是一個大型的稀疏矩陣，這時可用迭代法來求解。所謂迭代法是指從一個初始估計值出發，尋找一系列近似解以期解決問題的方法。大致上，應用於解線性方程的迭代法可區分為兩類：定常迭代法 (stationary iterative method) 和 Krylov 法。定常迭代法相對古老，容易瞭解與實現，惟效果通常不佳。Krylov 法相對年輕，雖然較不易理解分析，但效果普遍優異。本文介紹定常迭代法，並討論其中三種主要方法。

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向量範數

Posted on 08/13/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 線性代數的許多概念與主題衍生自歐幾里得幾何。典型的一個作法是將 和 的幾何觀念推廣至高維座標空間 和 。譬如，畢氏定理可用來計算二維實向量 和三維實向量 的長度： ， 稱為歐氏範數 (Euclidean norm)。類似地， 維向量長度也有相同的算式。對於 ， 。 上式中，我們以向量內積來表達 維實向量的歐氏範數。同樣道理， 維複向量的歐氏範數應該用複向量內積表達。對於 ，歐氏範數定義為 。 若 ，其中 和 是實數，，則 ，即有 。所以， 確保複向量的歐氏範數 不為負值。

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特殊矩陣 (18)：正矩陣

Posted on 01/23/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 令 為一 階實矩陣。若每一 ，我們稱 是正矩陣 (positive matrix)，記為 。(注意，在其他文章我用 表示 是正定矩陣。) 若每一 ，則 稱為非負矩陣 (nonnegative matrix)，記為 。推廣至更一般的情況， 代表每一 ， 代表每一 。因為 維實向量可視為 階矩陣，故同樣有正向量和非負向量的概念。相反關係 和 也按類似方式定義。正矩陣和非負矩陣出現於許多應用問題中，例如，馬可夫過程 (見“馬可夫過程”) 和圖論模型的鄰接矩陣 (見“Google 搜尋引擎使用的矩陣運算”，“線性代數在圖論的應用 (一)：鄰接矩陣”)。本文介紹 階正矩陣的特徵值和特徵向量性質，這些結果統稱為 Perron 定理[1]。

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條件數

Posted on 07/01/2010 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 當一個線性系統受到極微小的擾動即可引發方程解劇烈變化時，我們將無從信任計算結果，便稱它是病態系統 (見“病態系統”)。條件數 (condition number) 是矩陣運算誤差分析的基本工具，它可以度量矩陣對於數值計算的敏感性與穩定性，也可以用來檢定病態系統。本文通過一個簡單的線性方程擾動問題介紹條件數的推導過程，推演工具是矩陣範數 的定義所含的兩個不等式 (見“矩陣範數”)： ， 。

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每週問題 May 17, 2010

Posted on 05/17/2010 by ccjou

本週問題是證明反向三角不等式。 點選問題↓ Pow-May-17-10 參考解答↓ PowSol-May-17-10

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矩陣範數

Posted on 05/10/2010 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 幾何向量 的大小表現於其長度 (原點至向量端點的歐氏距離)，那麼矩陣 的大小應如何度量呢？矩陣的大小度量稱為矩陣範數 (norm)，記為 。佈於相同數系 ( 或 ) 且尺寸相同的矩陣集合構成一個向量空間，因此最直接的度量方式是仿造向量長度來定義矩陣範數。令 階矩陣 的行向量 (column vector) 為 ，其中 。Frobenius 範數定義如下： 。 Frobenius 範數 也可以由下式算得： 。 直接展開計算可驗證上面二式相等： 。 另外，Frobenius 範數與 的奇異值有關。令 ，，，為 的奇異值，其中 。下式成立 (證明見“SVD 於矩陣近似的應用”)： 。

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