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利用行列式推導海龍公式

本文的閱讀等級:初級 海龍公式 (Heron’s formula,亦稱海倫─秦九韶公式) 是一個著名的平面幾何公式。若一個三角的三邊長為 ,海龍公式給出三角形面積 ,如下: , 其中 是三角形的半周長。如果已知三角形的三個頂點座標 (按逆時針排序) , 和 ,三角形面積 亦可用下列行列式計算 (見“利用行列式計算多邊形面積”): 。 本文先介紹一個採用平面幾何方法的海龍公式證明[1],隨後解說如何由行列式表達的三角形面積公式推導海龍公式 (目的是為了演練行列式的運算)。 Advertisements

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利用行列式計算多邊形面積

本文的閱讀等級:初級 考慮平面上的一個 邊形,令 表示逆時針方向排序的 個端點座標 (參見下圖)。這個 邊形面積記為 ,可由 個二階行列式之和算出: , 稱為測量員 (surveyor) 公式。有人將此公式簡明地表示為[1]: 。 測量員公式的計算方式形如 所以又稱為鞋帶 (shoelace) 公式。我們知道二階行列式 等於 的兩個列向量 (row vector) 所張開的平行四邊形的有號面積 (見“行列式的運算公式與性質”)。等式 說明列向量張開的平行四邊形有號面積等於行向量 (column vector) 張開的平行四邊形有號面積。根據右手定則,若右手拇指外的四根手指的彎曲方向 (即逆時針方向) 視為由第一列向量至第二列向量的旋轉方向,則面積為正,反之,面積為負。下面我們利用行列式的幾何意義與基本性質證明測量員公式。

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