Tag Archives: 不變子空間

Jordan-Chevalley 分解

本文的閱讀等級:高級 對於一 階複矩陣 ,Jordan-Chevalley 分解[1]是指存在唯一的可對角化矩陣 與冪零 (nilpotent) 矩陣 使得 且 (稱為可交換)。對於複矩陣,Jordan-Chevalley 分解很容易以 Jordan 典型形式表達 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)。我們利用 Jordan 形式證明 Jordan-Chevalley 分解的存在性與唯一性。 Advertisements

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , | 3 Comments

每週問題 September 28, 2015

證明方陣 的一個不變子空間中存在一特徵向量。 Let be an matrix. If is an invariant subspace of , i.e., for every , show that there exists a nonzero vector in such that .

Posted in pow 特徵分析, 每週問題 | Tagged , , | 2 Comments

正規矩陣的等價條件

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階矩陣。若 ,也就是說 和 可交換,則 稱為正規矩陣 (normal matrix)。例如,實對稱矩陣 、Hermitian 矩陣 、反共軛對稱矩陣 ,以及么正 (unitary) 矩陣 皆為正規矩陣 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。目前已知的正規矩陣等價條件大約有 90 個[1],其中很多條件引用的概念相近,另有少許冷僻艱澀。本文挑選 25 個 (文獻[2]列舉出 70 個) 有關於特徵值、特徵向量、奇異值、跡數、範數、二次型、可交換、不變子空間 (invariant subspace)、正定、譜分解 (spectral decomposition),以及極分解 (polar decomposition) 等較具代表性的等價條件,並給出證明 (部分已刊登的證明僅提供連結)。

Posted in 線性代數專欄, 二次型 | Tagged , , , , , , , , | Leave a comment

每週問題 June 15, 2015

這是正規矩陣 (normal matrix) 的界定問題:若 的任一特徵向量是 的特徵向量,則 是正規矩陣,反之亦然。 Let be an matrix. Show that is normal if and only if any eigenvector of is an eigenvector of .

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , , | 5 Comments

利用多項式分解向量空間──兼論齊次線性微分方程解法

本文的閱讀等級:中級 考慮齊次線性微分方程 , 其中 是微分算子, 皆為常係數。令 。 以 取代 ,可得 。從線性代數觀點,求解齊次線性微分方程 等同於計算線性算子 的核 (kernel) 或零空間 (見“從線性代數看微分方程”)。本文解釋如何利用多項式來分解向量空間,藉此並可建立齊次線性微分方程解法的理論基礎。

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , , | Leave a comment

特徵向量是甚麽物,恁麽來?

本文的閱讀等級:初級 《南嶽懷讓禪師傳》記載: 祖問:「甚麽處來?」 曰:「嵩山來。」 祖曰:「甚麽物,恁麽來?」師無語,經八載忽然有悟,乃白祖曰:「某甲有個會處。」 祖曰:「作麽生?」 師曰:「説似一物即不中。」 唐代懷讓禪師為尋訪善知識跑去嵩山謁見惠安國師,惠安指點他參訪曹溪六祖。禮拜畢,六祖問:「你從何處來?」懷讓回:「我從嵩山來。」六祖又問:「你是甚麼東西?怎麼來的?」懷讓當下無言以對,經過八年參究,一天豁然開悟,便對六祖說:「我想通了。」六祖問:「怎麼樣?」懷讓回:「說是甚麼東西都不對。」   特徵向量甚麽處來?問既一般,答亦相似,翻開課本就可以找到答案,定義有兩種版本。 線性變換版:令 為一個向量空間, 是一個線性變換。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 矩陣版:令 為一個 階矩陣。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 若繼續追問:特徵向量是甚麽物,恁麽來?「説似一物即不中」提點我們不要死執一法 (定義),所以何妨「說似多物」,即便亂槍打鳥不中或許亦不遠矣。

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , , , | 5 Comments

不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (下)

本文的閱讀等級:高級 延續前文“不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (上)”和“不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (中)”,本文將討論以下三個與實際操作相關的問題:(1) 如何選擇「好種子」?(2) 如何快速檢查 是否為 的線性組合?(3) 特徵向量算法的基本原理是甚麼?不論特徵值的相重數為何,是否總能求得完整的特徵空間?往下閱讀前,請讀者先回顧前文。

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , | Leave a comment

限定算子的特徵值與特徵向量 (下)

本文的閱讀等級:中級 令 是一有限維向量空間,, 是一線性變換, 是定義於不變子空間 的一個限定算子。上文“限定算子的特徵值與特徵向量 (上)”介紹了限定算子 的特徵值和特徵向量,及座標變換和相似變換。本文討論限定算子的特徵多項式和最小多項式,並證明以下三個命題: 限定算子 的特徵多項式整除線性變換 的特徵多項式。 限定算子 的最小多項式整除線性變換 的最小多項式。 若限定算子 不可對角化,則線性變換 也不可對角化。換句話說,若 可對角化,則 也可對角化。

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , | Leave a comment

循環向量定理

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階矩陣。對於 維向量 ,如果向量集 構成 的一組基底,則 稱為 的一個循環向量 (cyclic vector)。任一方陣 未必總是存在循環向量,譬如,單位矩陣 ,因為對於所有 ,。本文證明循環向量定理,包含下列等價陳述: 有一個循環向量。 相似於一個相伴矩陣 (companion matrix)。 的最小多項式即為其特徵多項式。 若 和 是可交換矩陣,,則 是由 形成的矩陣多項式,即 , 是一個多項式。

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , , , , , , | 6 Comments

限定算子的特徵值與特徵向量 (上)

本文的閱讀等級:中級 令 為一向量空間, 為一線性變換 (亦稱線性算子)。若 是 的一個子空間,且對於每一 ,都有 ,即 ,則 稱為 的不變子空間 (invariant subspace)。我們可以設定不變子空間 等於 的定義域和到達域,稱為限定算子 (restriction),記作 。限定算子和不變子空間是一套極為有效的線性算子結構分析工具 (見“不變子空間──解構線性算子的利器”),本文介紹限定算子的特徵值與特徵向量計算方法。

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , | Leave a comment