Tag Archives: 不變子空間

本文的閱讀等級：初級 《南嶽懷讓禪師傳》記載： 祖問：「甚麽處來？」 曰：「嵩山來。」 祖曰：「甚麽物，恁麽來？」師無語，經八載忽然有悟，乃白祖曰：「某甲有個會處。」 祖曰：「作麽生？」 師曰：「説似一物即不中。」 唐代懷讓禪師為尋訪善知識跑去嵩山謁見惠安國師，惠安指點他參訪曹溪六祖。禮拜畢，六祖問：「你從何處來？」懷讓回：「我從嵩山來。」六祖又問：「你是甚麼東西？怎麼來的？」懷讓當下無言以對，經過八年參究，一天豁然開悟，便對六祖說：「我想通了。」六祖問：「怎麼樣？」懷讓回：「說是甚麼東西都不對。」   特徵向量甚麽處來？問既一般，答亦相似，翻開課本就可以找到答案，定義有兩種版本。 線性變換版：令 為一個向量空間， 是一個線性變換。若非零向量 滿足 ，則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 矩陣版：令 為一個 階矩陣。若非零向量 滿足 ，則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 若繼續追問：特徵向量是甚麽物，恁麽來？「説似一物即不中」提點我們不要死執一法 (定義)，所以何妨「說似多物」，即便亂槍打鳥不中或許亦不遠矣。

本文的閱讀等級：中級 令 是一有限維向量空間，， 是一線性變換， 是定義於不變子空間 的一個限定算子。上文“限定算子的特徵值與特徵向量 (上)”介紹了限定算子 的特徵值和特徵向量，及座標變換和相似變換。本文討論限定算子的特徵多項式和最小多項式，並證明以下三個命題： 限定算子 的特徵多項式整除線性變換 的特徵多項式。 限定算子 的最小多項式整除線性變換 的最小多項式。 若限定算子 不可對角化，則線性變換 也不可對角化。換句話說，若 可對角化，則 也可對角化。

本文的閱讀等級：中級 令 為一向量空間， 為一線性變換 (亦稱線性算子)。若 是 的一個子空間，且對於每一 ，都有 ，即 ，則 稱為 的不變子空間 (invariant subspace)。我們可以設定不變子空間 等於 的定義域和到達域，稱為限定算子 (restriction)，記作 。限定算子和不變子空間是一套極為有效的線性算子結構分析工具 (見“不變子空間──解構線性算子的利器”)，本文介紹限定算子的特徵值與特徵向量計算方法。