Tag Archives: 不變子空間

三角矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階上三角矩陣,即 若 。假設 是可逆的, 表明可逆上三角矩陣的主對角不含零元。上三角矩陣的逆矩陣也是上三角矩陣,本文介紹三種證明方法:(1) 高斯─約當法,(2) 冪零 (nilpotent) 矩陣,(3) 不變子空間 (invariant subspace)。因為 是下三角矩陣,利用 可推論下三角矩陣 的逆矩陣 也是下三角矩陣。

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同時可三角化矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階可交換 (commuting) 矩陣家族 (集合),其中任何兩矩陣 和 滿足 。若所有 皆可對角化,則存在一個可逆矩陣 使得 ,,是對角矩陣,此性質稱為同時可對角化 (見“同時可對角化矩陣”)。除此之外,可交換矩陣家族 另有同時可三角化性質。矩陣三角化或稱 Schur 分解 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”) 是指任意 階矩陣 必可分解成 ,其中 是上三角矩陣, 是么正 (unitary) 矩陣,。同時可三角化則是存在一個么正矩陣 一併使得所有 為上三角矩陣。表面上,同時可三角化與同時可對角化看似是可交換矩陣的姊妹性質,實際上,兩者的論證過程差異頗大,同時可三角化的證明尤其需要運用較艱深的特徵分析技術。

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商空間 (下)

本文的閱讀等級:中級 前文“商空間(上)”介紹了商空間的基本概念與性質,簡述於下。令 為一個向量空間, 是 的一個子空間。所有陪集 ,,所構成的集合稱為商空間,記作 。商變換 定義為 ,因為 是 的零空間,商變換的主要作用即在將向量空間 坍塌成商空間 。透過商變換可以證明商空間最有趣的一個性質: 同構於 的每一補空間 。延續前文,我們接著探討如何利用商變換來求得 基底,並介紹與商空間相關的線性變換問題。

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實對稱矩陣可正交對角化的證明

本文的閱讀等級:中級 實對稱矩陣是應用最廣的一種特殊矩陣,主要原因在於實對稱矩陣可表達二次型且出現於許多應用領域 (見“二次型與正定矩陣”,“Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例”)。實對稱矩陣具備美好的性質:特徵值皆為實數,並有完整的單範正交 (orthonormal) 特徵向量,也就是說,實對稱矩陣可正交對角化 (orthogonally diagonalizable)。令 為一個 階實對稱矩陣且 為 的特徵值。所謂正交對角化是指存在一個實正交矩陣 (orthogonal matrix) ,,使得 ,其中 的行向量 (column vector) 是 的特徵向量。實對稱矩陣屬正規 (normal) 矩陣家族的一員,滿足 ,這裡 代表共軛對稱。正規矩陣的標記性質是可么正對角化 (unitarily diagonalizable),即 ,其中 是么正 (unitary) 矩陣,滿足 ,因此立刻得知實對稱矩陣可正交對角化 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。本文介紹另一個不常見於教科書的證明方法,此法結合了一些重要的線性代數分析技巧,包括不變子空間 (invariant subspace)、正交補餘 (orthogonal complement),以及分塊矩陣運算,值得讀者詳加探究。本文內容可以直接推廣至 Hermitian 矩陣,你只要將 … Continue reading

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利用循環子空間證明 Cayley-Hamilton 定理

本文的閱讀等級:中級 在“利用循環子空間計算特徵多項式”一文,我們介紹了循環子空間的基本知識,並運用它來化簡線性算子特徵多項式的計算程序。本文將探討如何利用循環子空間證明 Cayley-Hamilton 定理:設 為定義於有限維向量空間 的線性算子, 為其特徵多項式,則 ,其中 代表零變換。

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不變子空間──解構線性算子的利器

本文的閱讀等級:中級 設 是一個從向量空間 映至向量空間 的線性變換。若 ,我們稱 為定義於向量空間 的線性算子 (linear operator)。數學家發展出一個研究線性算子的方法,他們想像向量空間 可以分割成一組不交集的子空間 ,精確地說, 為這些不交集子空間的直和 (direct sum,見“補子空間與直和”): 。 對於任一 ,僅有唯一的 ,,能夠組合出 。為簡約符號,我們以 代表向量 經過 映射後得到的像 。利用線性變換的基本性質,可得 。 上式提示我們一個探索線性算子 的途徑:只要分別探討 在各個子空間 的行為即可對 的行為獲得完整的認識。實際的操作方式是令線性算子 限定於子空間 上,稱為限定算子 (restriction),記為 。限定算子成立的前提是任一 ,都有 ,即 ,滿足此性質的子空間 稱為 的不變子空間 (invariant … Continue reading

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利用循環子空間計算特徵多項式

本文的閱讀等級:中級 令 為一向量空間且 為一線性變換 (或稱線性算子)。線性變換 將子空間 映射至另一子空間 。子空間 和 未必存在甚麼關係,但如果 ,我們稱 是 的一個不變子空間 (invariant subspace),也就是說,對於任意 ,必定有 。我們可以將線性變換 限定於子空間 上,於是有了限定算子 (restriction) 的概念,以符號表示為 。不變子空間的最主要價值在於化簡線性變換表示矩陣 (見“從不變子空間切入特徵值問題”),本文介紹一個產生不變子空間的簡易方式,稱為循環子空間 (cyclic subspace),並解說如何利用循環子空間計算矩陣特徵多項式。

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核心—冪零分解

本文的閱讀等級:中級 核心—冪零分解 (core-nilpotent decomposition) 是不可逆矩陣的一種相似變換,主要應用於推導 Jordan 典型形式。核心—冪零分解不像奇異值分解具有廣泛的用途,然而,它的推演過程讓原本隱蔽的矩陣子空間結構浮現出來,因此可以說是一個頗具深度的矩陣空間分析示範教材[1]。

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每週問題 July 19, 2010

這是有關不變子空間的證明問題。 Pow-July-19-10 參考解答↓ PowSol-July-19-10

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從不變子空間切入特徵值問題

本文的閱讀等級:初級 對首次接觸特徵分析的學者來說, 像是從天上掉下來的禮物。表面上,人人面露喜悅之情欣然接受;私底下,個個心中不免納悶:「這個神奇的式子究竟是怎麼冒出來的?」教書多年,我當然清楚學生的疑惑,參考了各家說法之後,決定採用一個省時省力的問題導入方式。每回開始講解特徵分析前,我會先介紹一階常微分方程 ,並說明解為 ,其中 是純量。緊接著延伸至高階微分方程,寫出對應的矩陣表達式: 。 從一階微分方程的解,我們猜想解向量的形式為 ,將它代回微分方程式,可得 。 等號兩邊消去 就得到 。我的原意是告訴大家:「你看多奇妙啊,微分方程轉換成特徵方程了。」不過這套論述難脫倒果為因之譏,一不小心可能會誤導學生以為特徵分析的原始動機只是為了解微分方程。

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