Tag Archives: 主子陣

半正定矩陣的判別方法

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階實對稱矩陣。若任一非零向量 使得二次型 ,我們稱 是正定 (positive definite) 矩陣 (見“特殊矩陣 (6):正定矩陣”)。若任一 皆滿足 ,則 稱為半正定 (positive semidefinite) 矩陣。本文介紹半正定矩陣的一些判別方法。如欲將本文內容推廣至 Hermitian 複矩陣,僅須將實數系 替換為複數系 ,並且將轉置 替換為共軛轉置 即可。 Advertisements

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每週問題 March 29, 2010

本週問題是證明一個小型對稱矩陣的特徵值變化界定問題。 點選問題↓ Pow-March-29-10 參考解答↓ PowSol-March-29-10

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特殊矩陣 (11):三對角矩陣

本文的閱讀等級:初級 如果 階方陣 除了主對角線元以及比主對角線低一列和高一列的對角線之外,其餘皆為零元,我們稱它為三對角 (tridiagonal) 矩陣,也就是說,當 ,;如下例, 三對角矩陣常出現於數值分析問題,本文僅介紹三對角矩陣的幾個基本性質,包括行列式計算、相似變換的應用以及求解線性方程。

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每週問題 February 22, 2010

本週問題是關於行列式包含零主子陣的問題。 點選問題↓ Pow-Feb-22-10 參考解答↓ PowSol-Feb-22-10

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正定矩陣的性質與判別方法

本文的閱讀等級:中級 在“特殊矩陣 (6):正定矩陣”,我們曾經介紹實對稱正定矩陣並解釋其幾何意義,本文將深入研究正定矩陣的一些性質 (必要條件) 與判別方法 (充分條件)。以下討論將我們習慣的實矩陣延伸至複矩陣,對複矩陣不熟悉的讀者,請先參閱“從實數系到複數系”。令 為一個 階共軛對稱矩陣,或稱 Hermitian 矩陣。如果所有的非零向量 滿足 , 我們稱 是正定 (positive definite) 矩陣;如果僅滿足 , 則稱 為半正定 (positive semidefinite) 矩陣。事實上,在複正定與半正定矩陣的定義中, 是 Hermitian 矩陣的假設是多餘的。若對於任一 , 是實數,則 必為 Hermitian 矩陣 (見“特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”)。但如果 是實矩陣,縱使對於每一個非零向量 都有 ,仍不能保證 是對稱矩陣。例如, 不是對稱矩陣,特徵值為 ,但每一個非零實向量 … Continue reading

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