Tag Archives: 么正矩陣

每週問題 February 13, 2017

證明遍歷定理 (ergodic theorem)。 Let be a unitary matrix, i.e., . Prove that , where is the Hermitian projection matrix onto . Advertisements

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每週問題 January 2, 2017

若 是一個二階方陣且 ,證明存在一個么正 (unitary) 矩陣 使得 的主對角元為零。 Let be a matrix and . Show that there exists a unitary matrix such that the diagonal elements of are equal to zero.

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單範正交基底

本文的閱讀等級:中級 歐幾里得空間 和 是具有內積運算的向量空間 (見“歐幾里得空間的數學結構”),稱為內積空間。歐幾里得空間 的標準基底 由正交 (垂直) 的單位向量組成,即 且 。令 與 逆時針旋轉 徑度,所得的向量 與 是 的另一組基底。同樣地,基底 滿足 和 。我們稱 與 是歐幾里得空間 的單範正交基底[1] (orthonormal basis)。基底造出向量空間的結構,單範正交基底則造出內積空間的結構。若與非正交基底比較,單範正交基底的最大優勢在於具備清晰的幾何意義而且容易計算。通過討論一般內積空間的單範正交基底的等價條件可以幫助你了解這種特殊基底的應用價值。

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利用舒爾引理證明可交換矩陣同時可三角化

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階兩兩可交換 (commuting) 矩陣集,也就是說任兩矩陣 和 滿足 。以下考慮 。可交換矩陣集 的所有矩陣同時可三角化,具體而言,存在一么正 (unitary) 矩陣 ,,使得 ,,為上三角矩陣 (見“同時可三角化矩陣”)。本文介紹一個利用舒爾引理 (Schur’s lemma) 的證明方法。

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正規矩陣的等價條件

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階矩陣。若 ,也就是說 和 可交換,則 稱為正規矩陣 (normal matrix)。例如,實對稱矩陣 、Hermitian 矩陣 、反共軛對稱矩陣 ,以及么正 (unitary) 矩陣 皆為正規矩陣 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。目前已知的正規矩陣等價條件大約有 90 個[1],其中很多條件引用的概念相近,另有少許冷僻艱澀。本文挑選 25 個 (文獻[2]列舉出 70 個) 有關於特徵值、特徵向量、奇異值、跡數、範數、二次型、可交換、不變子空間 (invariant subspace)、正定、譜分解 (spectral decomposition),以及極分解 (polar decomposition) 等較具代表性的等價條件,並給出證明 (部分已刊登的證明僅提供連結)。

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每週問題 July 6, 2015

這是么正矩陣 (或稱酉矩陣,unitary matrix) 的一個界定性質。 Let be an matrix with all eigenvalues equal to 1 in absolute value. Show that is a unitary matrix if, for all , .

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每週問題 February 2, 2015

本週問題關於 Cayley 變換。 Let be a skew Hermitian matrix. Show that Cayley transformation is a unitary matrix.

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利用 Householder 變換證明 Schur 定理

本文的閱讀等級:中級 任何一個 階矩陣 皆相似於一上三角矩陣 ,其中 的主對角元為 的特徵值,且必存在一么正矩陣 (unitary matrix) 滿足 (見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”),使得 。簡單講,任一方陣皆么正相似於一上三角矩陣,或者說任一方陣定可么正三角化,此事實稱為 Schur 定理。我們曾以 Gram-Schmidt 正交化程序設計了建構式證明 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”),本文介紹一個利用 Householder 變換的歸納證法。

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答Eden──關於么正矩陣的冪

網友Eden留言: 老師您好,最近因為研究上發現 unitary 矩陣的一個現象:假設 為一個 的 unitary 矩陣, 的 次方 ( 為某個 的倍數) 必定會變成單位矩陣。自己一直從 unitary 的特徵值 (特徵值大小都會是1) 變化去思考,但目前還是只知道次方項 會是 的倍數,想了解 和 之間的確切關係。不知道老師對我提的問題是否清楚,方便給點提示或是思考方向之類的嗎?

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每週問題 November 10, 2014

證明可么正對角化 (或稱可酉對角化,unitarily diagonalizable) 是正規矩陣 (normal matrix) 的一個充要條件。 Let be an matrix. Show that is normal, i.e., , if and only if is unitarily diagonalizable, namely, there exists a unitary matrix of the same size such that where are eigenvalues of … Continue reading

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