Tag Archives: 么正矩陣

每週問題 February 10, 2014

這是有關么正等價 (unitarily equivalent) 的問題。 Let and be matrices. We say that and are unitarily equivalent if there exist unitary matrices and such that . Recall that a square matrix is called unitary if . Prove the following statements. (a) and … Continue reading

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矩陣跡數與特徵值和奇異值的關係

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階複矩陣。矩陣 的主對角元之和稱為跡數 (trace),記作 。 矩陣的跡數與特徵值存在一個簡單的關係 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”): , 其中 是 的特徵值。因為種種緣故,多數的基礎線性代數課程就此打住,不再深入探究。引用電影《一代宗師》宮二小姐的話:「寧可一思進,莫在一思停。」現在我們繼續往前進。根據定義,直接計算矩陣乘法可得 本文通過計算 、 和 來探討矩陣跡數與特徵值和奇異值之間的不等關係。

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Hermitian 矩陣的等價條件

本文的閱讀等級:中級 1994年,美國數學月刊 (American Mathematical Monthly) 登載一位學生的提問:在線性代數期末考試,題目要求寫出 Hermitian 矩陣 的定義,他出於匆忙與疲憊沒有寫下正確的答案 ,他的回答是 。這是正確的答案嗎?是的,三年後美國數學月刊登出了讀者提供的五個證明[1]。   若一個 階矩陣 滿足 ,則 稱為 Hermitian 矩陣 (性質見“特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”)。Hermitian 矩陣有以下等價的陳述 (充要條件): ; 的二次型必為實數,即對於所有的 , 是實數; 么正相似 (unitarily similar) 於一個實對角矩陣,即存在一個么正 (unitary) 矩陣 ,,使得 ,其中 是實數; ; 。

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答perlpython──關於二階旋轉矩陣的對角化問題

網友perlpython留言: 老師,你好。我想請問一下,關於二維空間的旋轉矩陣。它在角度等於0度和180度時,分別會有eigenvalue = 1,-1,這是很直觀從圖形上就可以得到的結果。此外,當角度是其他度數時,很明顯eigenvalue是不存在的,在實數系上因而沒辦法對角化。然而,當討論的區域是複數系時,對於旋轉矩陣而言,它是有辦法對角化的嗎?因為我在課本上只讀到,複數系有機會對角化,只是我不知道從何下手去討論?或是有背後的理論知識,如果有專有名詞,懇請老師稍微點一下,謝謝,感激不盡。

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等距同構與么正矩陣

本文的閱讀等級:中級 考慮定義於 的線性變換,以 階變換矩陣 表示。哪些線性變換保留兩個向量之間的距離?精確地說,對於任意 維向量 ,我們想知道 必須具備甚麼條件方使得 。 滿足上述關係的線性變換稱為等距同構 (isometry)、正交變換 (orthogonal transformation) 或保距映射 (distance preserving)。相同的問題形式可以放在複數系來討論:哪些複數 使得 ,其中 ?明顯地, 必須滿足 ,或 。共軛複數 類比共軛轉置 ,倒數 類比逆矩陣 (見“矩陣與複數的類比”),則 可類比 ,稱之為么正矩陣 (unitary matrix,或酉矩陣,見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”)。如果 是一實矩陣,則 ,稱為正交矩陣 (orthogonal matrix)。下面證明等距同構與么正矩陣是等價的概念。

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線性變換觀點下的奇異值分解

本文的閱讀等級:中級 1960年代初以前,奇異值分解 (singular value decomposition,簡稱 SVD) 普遍被視為一個模糊的理論概念,原因在於當時並不具備實際可行的算法。自從美國計算機科學教授格魯布 (Gene Golub) 與卡韓 (William Kahan) 於1965年率先發表了第一個有效的算法後,奇異值分解的價值才逐漸受到學者肯定,至今已成為線性代數中應用最廣的矩陣分解式[1]。為甚麼奇異值分解這麼重要?這個問題可以從兩個層面加以剖析:奇異值分解的運作原理是甚麼?奇異值分解有哪些經典的應用?本文針對第一個問題提供部分解答。我們從線性變換觀點解釋奇異值分解的運算與意義,並藉此聯繫線性代數的一些核心概念,如值域、核、基本子空間、正交基底和座標變換。 (關於奇異值分解的推導和應用請參閱“奇異值分解專題”列舉的相關文章。)

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每週問題 October 1, 2012

本週問題是利用奇異值分解證明 么正相似 (unitarily similar) 於 。 Let be an matrix. Show that and are unitarily similar, i.e., there exists a unitary matrix such that . Note that is unitary if .

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矩陣與複數的類比

本文的閱讀等級:高級 定義於向量空間 的任一線性變換可以用一個 階複矩陣表示 (參考某基底)。除了少數特殊矩陣,如對角矩陣、投影矩陣、旋轉矩陣,和鏡射矩陣等,學者經常無法清楚地掌握矩陣變換的確實行為,主要原因是人們很難想像高維 () 向量空間,遑論向量在這些空間中的變換。欲洞察任意方陣的映射行為雖非易事,但也不是全然無跡可循,本文介紹一個認識矩陣作為的方法──透過矩陣與複數的類比來區分界定重要的特殊方陣。對複矩陣陌生的讀者,請先閱讀背景文章 “從實數系到複數系”。

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特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣

本文的閱讀等級:中級 實對稱矩陣 是所有實矩陣中應用最廣泛的特殊矩陣。實對稱矩陣的特徵值皆為實數,並存在完整的單範正交 (orthonormal) 實特徵向量,因此實對稱矩陣可被正交對角化為 ,其中 是主對角特徵值矩陣, 是正交特徵向量矩陣,滿足 。複矩陣也存在與實對稱矩陣相應的美好矩陣,稱為 Hermitian 矩陣或共軛對稱矩陣,也叫自共軛矩陣。關於複矩陣的基礎介紹,請見“從實數系到複數系”。

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正定矩陣的性質與判別方法

本文的閱讀等級:中級 在“特殊矩陣 (6):正定矩陣”,我們曾經介紹實對稱正定矩陣並解釋其幾何意義,本文將深入研究正定矩陣的一些性質 (必要條件) 與判別方法 (充分條件)。以下討論將我們習慣的實矩陣延伸至複矩陣,對複矩陣不熟悉的讀者,請先參閱“從實數系到複數系”。令 為一個 階共軛對稱矩陣,或稱 Hermitian 矩陣。如果所有的非零向量 滿足 , 我們稱 是正定 (positive definite) 矩陣;如果僅滿足 , 則稱 為半正定 (positive semidefinite) 矩陣。事實上,在複正定與半正定矩陣的定義中, 是 Hermitian 矩陣的假設是多餘的。若對於任一 , 是實數,則 必為 Hermitian 矩陣 (見“特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”)。但如果 是實矩陣,縱使對於每一個非零向量 都有 ,仍不能保證 是對稱矩陣。例如, 不是對稱矩陣,特徵值為 ,但每一個非零實向量 … Continue reading

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