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九宮圖的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 九宮圖 (Lo Shu square),又稱洛書,即三階幻方 (magic square)。南宋楊輝《續古摘奇演算法》記載三階幻方的構造法:「九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出,戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足[1]」。九宮圖的陣列表示如下: 所謂 階幻方是指 個相異的數字排列成 階陣列形式,其中每一列、行[2]、主對角線與反主對角線 (anti-diagonal) 上的數字和皆等於 ,稱為幻方常數 (magic constant)。如果限定組合數字為連續正整數 ,則稱之為自然幻方,其幻方常數由階數 決定。因為 階自然幻方的數字總和 均分給 個列,可知 。九宮圖是一個三階自然幻方,幻方常數為 。如果將九宮圖視為 階矩陣 ,可以算出 ,逆矩陣為 (見“三階逆矩陣公式”) 。 令人訝異的是,九宮圖的逆矩陣也是一個幻方 (但非自然幻方),幻方常數恰為 。下面我們利用矩陣運算來證明這個有趣的性質。 Advertisements

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