Tag Archives: 二次型

常態分布與二次型

本文的閱讀等級:中級 服從多變量常態分布 (normal distribution) 的隨機向量 (隨機變數組成的向量) 的機率密度函數完全由平均數向量 和共變異數矩陣 決定,記為 。若 ,我們說隨機向量 服從標準多變量常態分布,其中隨機變數 相互獨立。本文討論具多變量常態分布的隨機向量所構成的二次型 ,其中 是實對稱矩陣,並引介一個重要的統計分布──卡方分布 (chi-squared distribution)。本文的預備知識包括 (見“多變量常態分布”): 期望值 是線性算子,共變異數矩陣 是半正定 (對稱) 矩陣。 服從常態分布的隨機向量的仿射變換 (affine transformation) 也為常態分布。令 為一 維隨機向量,且 。若 ,其中 是 階常數矩陣, 是 維常數向量,則 ,即 且 。 令 和 … Continue reading

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每週問題 December 22, 2014

這是 Hermitian 矩陣的一個充分條件證明問題 (事實上,這是一個充要條件)。 Let be an complex matrix. Show that if is real for every , then .

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每週問題 December 15, 2014

這是實對稱矩陣的二次型極值問題。 Let be an Hermitian matrix. Let and be the smallest and largest eigenvalues of , respectively. For every unit vector , show that .

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每週問題 July 14, 2014

這是關於二次型的性質與判別問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學D)”。 Let be an real matrix. Which of the following statements are true? (a) If all the eigenvalues of are positive, then for every nonzero . (b) If all the eigenvalues of are positive, then . (c) If for … Continue reading

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每週問題 March 3, 2014

這是關於二個半正定矩陣積的跡數與二次型問題。 Let and be real symmetric matrices and let and be positive semidefinite. Prove the following statements. (a) If , then . (b) If for all real , then .

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答張盛東──關於三個半正定矩陣積的二次型為零的問題

網友張盛東留言: 老師,請教一個問題。已知 為實對稱半正定 (positive semidefinite) 矩陣,證明:對任意實向量 ,如果二次型 ,則 。這題我想很久都找不到思緒,希望老師指點一下。

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每週問題 February 3, 2014

這是利用 Rayleigh 商判斷特徵值分布的問題。 Without computing the eigenvalues, decide how many are positive, negative, and zero for .

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每週問題 July 8, 2013

在代數中,若 ,則 。那麼對應的矩陣性質該如何證明呢? Let and be Hermitian matrices. We denote if is positive semidefinite. If , i.e., is positive definite, show that .

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每週問題 April 8, 2013

這是證明反對稱矩陣的二次型必為零。 Let be an real matrix. Show that is a skew-symmetric matrix, i.e., , if and only if for all .

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每週問題 February 25, 2013

這是關於半正定矩陣的判別法。 Let be an real symmetric matrix. Show that is positive semidefinite if and only if is positive semidefinite for all real matrix .

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