Tag Archives: 二項式定理

牛頓的二項式定理 (下)

本文的閱讀等級:初級 英國劍橋大學在1660年代並非現代人所認知的環境優美且人文薈萃的學術殿堂。當時劍橋的學術發展不僅落後歐洲大陸,同時還是一個危險的地方。劍橋居民有八千人,其中近三千名學生和教職員工,生活在占地不到一平方英里的城區。建築物人滿為患,白天商人、乞丐、失學兒童和穿黑長衫的學生擠在骯髒污穢的街道;夜晚城鎮昏暗無光,人身安全受到無所不在的盜賊威脅[1]。表面上,學院維持著活躍的學術生活假象;實際上,學院的教學仍遵循古老的亞里士多德學說,有些教授長年霸佔教職卻不執教,學生寧願耽迷在小酒館尋歡作樂[2]。1665年至1666年,英國爆發大規模的鼠疫,導致超過10萬人死亡,劍橋大學因此被迫關閉[3,4]。1666年9月2日至5日,倫敦發生史上最嚴重的火災,大約六分之一的建築被燒毀,估計造成城市8萬人口之中的7萬居民無家可歸[5]。儘管身處災禍四起的時代,特立獨行的牛頓依然專注於自己的學業,他在1665年發現廣義二項式定理,同年並獲得了學位。學校關閉的兩年中,牛頓在家鄉研究一套新的數學理論 (即微積分學),直到1667年才以研究生身分重返劍橋大學三一學院。半個世紀後,年老的牛頓回憶萬有引力的雛型理論如何誕生時,他說[6]:「所有這些皆在1665年至1666年的鼠疫期間產生的,因此這些日子是我發明及專注於數學與哲學最精華的歲月。」 Advertisements

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牛頓的二項式定理 (上)

本文的閱讀等級:初級 公元1676年,萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 向牛頓 (Isaac Newton) 探詢廣義二項式定理的發現過程。6月13日,牛頓透過英國皇家學會 (The Royal Society) 秘書奧登堡 (Henry Oldenberg) 轉寄回函[1]。在這封信中,牛頓寫出下列無窮級數,並稱之為定理[2]: 牛頓解釋 是所考慮的二項式, 是第一項, 是剩餘項除以 ; 可以是整數或分數,為正或負。他舉了一個例子, 對應 , , , [3]。等式右邊的 代表第一項 , 代表第二項 ,餘此類推。換句話說, 。從現代人的眼光來看,牛頓描述的公式顯得深奧晦澀。為甚麼 要出現兩次?何不將 寫成 ?再來,為甚麼不展開等號右邊各項,列出 的顯式表達?原因無他,牛頓的用意在於簡化計算,稍後將說明。我們要討論的第一個問題,也就是萊布尼茲的疑問:牛頓是怎麼得到這條公式的?

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二項式係數公式

本文的閱讀等級:初級 令 表示 個元素構成的集合。從 中選取 個元素的可能方式稱為組合,譬如,從 選取 個元素的組合如下: 。 計算 的 —組合數並不困難:想像 個元素排成一列,選取領先的 個元素,共有 種可能。這 個元素可以任意置換,每一種 —組合重複出現 次。所以,從包含 個元素的集合 中選取 個元素的組合數,記為 ,計算如下: 。 譬如,。我們稱 為二項式係數 (binomial coefficient)。這個名稱的由來係因 , 其中 是 的係數。從二項式係數的表達式可知縱使 不是整數,我們依然能定義 。為便於識別,我們用 代表任一實數, 代表任一整數,定義 。 見下表,非零的部分稱為帕斯卡三角形 (見“特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 … Continue reading

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特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (上)

本文的閱讀等級:中級 二項式定理 (binomial theorem) 由牛頓於公元1664-65年間提出,此定理給出 的整數次冪展開公式: , 其中 為 取 的組合數目,稱為二項式係數,它遵守帕斯卡(Pascal)法則: 。 證明如下。令 表示 個元素構成的集合,設 ,由 中選取 個元素可分開兩種情況討論:若不取 ,則必須從 選取 個元素,組合數為 ;若選取 ,則還要從 取其餘 個元素,組合數為 。帕斯卡法則的代數證明請見“二項式係數公式”。

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線性代數在圖論的應用 (一):鄰接矩陣

本文的閱讀等級:初級 針對給定的一個有限集合,集合裡的元素之間常存在某種關係。例如,一個國家中城市之間的飛航路線,產業聚落中公司之間的產品供應鏈,以及社交網路服務網站,如 Facebook,MySpace 的社群人際關係。圖論 (graph theory) 是一門描述集合裡元素彼此關係的數學領域,上述這些問題都可架構於圖論模型以利分析。

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每週問題 July 27, 2009

本週問題是利用特徵分析和二項式定理求冪矩陣。 點選問題↓ pow-july-27-09 參考答案↓ powsol-july-27-09

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