Tag Archives: 交換子

證明細解 1

Posted on 03/18/2016 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 表面上，數學證明是演繹法的舞台，但本質上，數學證明是一門具有歸納性質的實驗科學活動。面對數學證明問題，我們不僅希望了解各種可能的證明方法，還試圖理解這些證法背後的動機與思維。美國數學家波利亞 (George Polya) 在其名著《怎樣解題》(How to Solve It) 主張數學解題 (包括證明) 過程可分為下列四個階段。 了解問題：要知道未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？ 擬定計畫：找出已知數與未知數之間的關係。如果這個關係不是很明確，可以嘗試考慮類似的問題。最後，我們應該能想出解題的計畫。 執行計畫：將解題計畫付諸實現，仔細檢查每一個步驟。 驗算與回顧：驗算所得的解答，檢驗每一個論證步驟是否正確。 按照波利亞的指點，本文練習如何通過有效的提問激發想法，從而構思出證明計畫，跨越障礙直達問題的核心。從實踐面來看，最為困難的證明階段在於擬定計畫。我想到一個應對方法是細解一些線性代數定理的精彩證明，以探索法 (heuristic) 對論證推理的每一個步驟作徹底的研究。我假定讀者已經對線性代數有了初步理解，看底下這道證明問題：   定理. 令 與 為 階矩陣。若 ，則 。

Posted in 線性代數專欄, 證明細解 | Tagged , , , | Leave a comment

交換子的充要條件

Posted on 12/16/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一 階矩陣。我們稱 為交換子 (commutator)，如果存在 階矩陣 和 使得 (見“交換子與可交換矩陣”)。判定方陣 是否為交換子的方法非常簡單： 為交換子的一個充要條件是 。例如，單位矩陣 不是交換子，因為 。若 為交換子，使用跡數循環不變性 (見“跡數的性質與應用”)，可得 。 下面證明：若 ，則 是一個交換子。證明包含三個部分，分述於下。

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 October 26, 2015

Posted on 10/26/2015 by ccjou

證明若 ，則 。 Let and be matrices such that . Show that .

Posted in pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | Tagged , | 3 Comments

每週問題 March 10, 2014

Posted on 03/10/2014 by ccjou

證明任一主對角元為零的方陣必可表示為交換子 。 Let be an matrix with for all . Show that there exist matrices and such that .

Posted in pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

海森堡不確定性原理的矩陣證明

Posted on 04/25/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 在量子力學裏，不確定性原理[1](uncertainty principle) 表明：粒子的位置與動量不可同時被確定，位置的不確定性 與動量的不確定性 遵守不等式 ， 其中 ， 是普朗克常數[2](Planck constant)。海森堡[3] (Werner Heisenberg) 在1927年發表的一篇論文裏，寫下 。 雖然他提到這公式可以從對易關係 (commutation relation，稍後將說明) 推導出來，但他並沒有寫出相關的數學論證，也沒有給予 和 確切的定義。同年，肯納德 (Earl Hesse Ke,nnard) 首先證明不確定關係不等式，1929年羅伯森 (Howard Percy Robertson) 又從對易關係推導出相同的結論[4]。本文使用現代讀者熟悉的矩陣分析方法證明不確定性原理。由於我對量子力學幾乎一無所知，在提到相關知識的時候均盡量列舉引用出處以方便讀者參照查詢。

Posted in 線性代數專欄, 應用之道 | Tagged , , , , | 7 Comments

交換子與可交換矩陣

Posted on 04/23/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 我們知道矩陣乘法不總是滿足交換律，即 ，其中 和 是 階矩陣。但如果 ，我們說 和 是可交換矩陣 (或對易矩陣)。當矩陣具備清晰的幾何意義時，無須計算也很容易判斷它們是否為可交換矩陣。譬如，在二維空間 ，令旋轉矩陣 表示逆時針旋轉 角，伸縮矩陣 表示 軸伸縮 倍， 軸伸縮 倍，如下 (見“幾何變換矩陣的設計”)： 。 從幾何直觀即可確定 ，而且若 ，則 。自然地，我們想探究：對於旋轉矩陣 ，甚至任意矩陣 ，哪些 滿足乘法交換律？不過說來奇怪，找尋可交換矩陣問題並不常見於線性代數教科書。原因是這個問題不值得討論，還是這個問題尚未被解決？值不值得討論屬於主觀認知，在此不予評論。不過客觀的事實是：僅使用基礎線性代數知識便可求出 的所有可交換矩陣 。為了探討可交換矩陣問題，我們定義交換子 (commutator，或稱對易算符) 為 與 的差，記為 。 若 ，則 ， 和 是可交換矩陣。明顯地， 且 … Continue reading →

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , , , , | 3 Comments