Tag Archives: 代數重數

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階複矩陣，。若存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣，其主對角元為 的特徵值，則 稱為可對角化 (diagonalizable)， 稱為譜分解 (spectral decomposition，見“可對角化矩陣的譜分解”)。令 為 的相異特徵值組成的集合。下面列舉三個可對角化矩陣 的等價條件： 每一特徵值 的代數重數等於幾何重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”)，即 (見“特徵值的代數重數與幾何重數”)，這裡 表示矩陣 的零空間 (nullspace)； 每一特徵值 的指標 (index) 等於 ，也就是說 的 Jordan 矩陣的每一個 Jordan 分塊的階數為 ，即純量 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)； 最小多項式為 ，也就是說 (見“最小多項式 (下)”)。

本文的閱讀等級：中級 一百年前，行列式曾經是一個重要的數學領域。隨著數學發展方向的改變，今天行列式已漸漸遠離線性代數和矩陣理論的中心。但為甚麼絕大多數的近代線性代數教科書仍將行列式納入課程內容？美國數學教授奈林 (Evar D. Nering) 一語道破箇中緣由[1]： 我們介紹行列式理論的一些主題之目的僅為了求一線性變換的特徵值。若不是因為這個用途，我們不會在本書裡討論行列式。 令 是一個 階線性變換表示矩陣。定義 的特徵多項式為 ，特徵值 即是 的根，對應的特徵向量 滿足 。以上是多數教本採用的論述方式。奈林不是唯一對行列式冷感的學者，美國數學教授阿斯勒 (Sheldon Axler) 認為行列式難以理解，不具清晰直覺，且常在缺乏動機的情況下被定義出來。為擺脫行列式，他甚至寫了一本書《線性代數正確完成》(Linear Algebra Done Right) 試圖說服大眾：即便沒有行列式，線性代數照樣伸展自如 (見“拒絕行列式的特徵分析”)。不過，缺少行列式這個工具，阿斯勒並沒有告訴讀者如何計算特徵多項式 (或特徵值)。關於這個問題，他建議大家使用現成的數值計算工具，並說[2]： 不幸的是，對於一典型算子的表示矩陣 (參考任意基底)，不存在精確的特徵值計算方法。然而，如果我們幸運地找到一組基底使得參考它的表示矩陣是上三角矩陣，那麼計算特徵值這個問題就很簡單了。 如果我們幸運地找到一組基底使得線性變換參考這組基底的表示矩陣是上三角矩陣，那麼線性變換 (或表示矩陣) 的特徵值即為上三角矩陣的主對角元。或許要找到一組能夠將矩陣三角化的基底需要一點運氣，但現今確實存在可使矩陣分塊三角化的基底計算方法[3-4]。由於此法產生的分塊上三角矩陣具備特殊的型態，從主對角分塊立刻得知特徵多項式，不僅如此，一旦確定了特徵值，僅需少量的計算即可求出特徵向量。下面我就為讀者介紹這個鮮為世人所知的不使用行列式 (也不倚靠運氣或個人修為) 的特徵值和特徵向量算法。